적분 전체 문제

미적분학의 기본정리에 의해

$$\begin{aligned} \int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x &=\left[\frac{x^4}{4}-\cos x\right]_0^2\\ &=\left(\frac{2^4}{4}-\cos 2\right)-\left(0 -\cos 0\right) \\ &= 4-\cos2+1=5-\cos2. \end{aligned}$$

피적분함수는 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 과 비슷한데, 이는 아크탄젠트의 도함수이다. 실제로 다음이 성립한다.

$$\begin{aligned}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{1+(5x)^2}\mathrm{d}x. \\ \text{ 따라서 부정적분을 처음에는 다음과 같이 추측해 볼 수 있다. } \\ F(x) &\stackrel{?}{=} \arctan(5x). \\ \text{ 그런데 연쇄법칙 때문에 } \\ F'(x) &= \dfrac{5}{1+(5x)^2}. \\ \text{ 분자를 ``고치기" 위해 두 번째로 추측한다: } \\ F(x) &= \frac{1}{5}\arctan(5x)\\ F'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1+(5x)^2}\right) = \dfrac{1}{1+25x^2}\\ \text{따라서,}\qquad \displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{5}\arctan(5x)+C. \end{aligned}$$

피적분함수는 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 와 비슷하다. 부정적분을 추측하기 위해 분모에서 $\sqrt{2}$ 를 묶어 내자:

$$\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&= \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)}}\mathrm{d}x\\ &=\displaystyle\int \dfrac{1}{ \sqrt{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}\mathrm{d}x\\ &= \int\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{ \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2}}\mathrm{d}x\\ \\ \text{이 시점에서 부정적분이 $F(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 와 같은 꼴일 것이라고 추측할 수 있다. 이 가능성을 확인하기 위해 미분하여 무엇을 얻는지 보자.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}} \\ \text{이것은 우리가 원하는 바로 그 식이다! 따라서} \\ \int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)+C \end{aligned}$$

$\int \sec^2 x\ \mathrm{d}x = \tan x +C$ 이고 $\sec^2x = \tan^2 x + 1$ 이므로

$$\begin{aligned} \int \tan^2 x\ \mathrm{d}x &= \int \sec^2x - 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\int \sec^2 x \ \mathrm{d}x - \int 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\tan x - x + C \end{aligned}$$

• 풀이 1: 이 식은 언뜻 익숙한 함수의 도함수처럼 보이지는 않지만, 익숙한 삼각함수 항등식의 절반처럼 보인다. $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

$$\begin{aligned} \int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{3}{2}\cdot 2\sin x \cos x \ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{3}{2} \sin(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{따라서 부정적분이 $-\cos(2x)$ 와 비슷한 꼴일 것이라고 짐작할 수 있다. 상수만 정하면 된다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-\cos(2x)\}&=2\sin(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\frac{3}{4}\cos(2x)\right\}&=\frac{3}{2}\sin(2x)\\ \text{그러므로,}\qquad \int 3\sin x \cos x\ \mathrm{d}x&=-\frac{3}{4}\cos(2x)+C \end{aligned}$$

• 풀이 2: $\cos x$ 가 $\sin x$ 의 도함수이므로, 피적분함수가 연쇄 법칙에서 나온 식처럼 보인다는 점을 알아챌 수 있다. 이를 이용하여 부정적분을 구할 수 있다.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin^2 x\right\}&=2\sin x \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{3}{2}\sin^2 x\right\}&=3\sin x \cos x\\ \text{따라서,}\qquad \int 3\sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\frac{3}{2}\sin^2 x+C \end{aligned}$$

이 두 답은 서로 다르게 보인다. 항등식 $\cos(2x)=1 - 2 \sin^2(x)$ 을 이용하면 두 답이 같음을 알 수 있다.

$$\begin{aligned} -\frac{3}{4}\cos(2x)+C&= -\frac{3}{4}\left(1-2\sin^2x\right)+C\\ &=\frac{3}{2}\sin^2 x + \left(C-\frac{3}{4}\right) \end{aligned}$$

여기서 $\frac{3}{4}$ 은 중요하지 않다. $C$ 는 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수를 나타낸다는 것을 기억하자. 따라서 $C-\frac{3}{4}$ 도 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수일 뿐이다. 우리가 구한 두 답은 상수만큼 차이가 나므로 서로 같다.

어떤 함수의 도함수가 $\cos^2 x$ 인지는 바로 알기 어렵지만, 항등식 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ 를 이용하면 상황을 조금 더 분명하게 할 수 있다:

$$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{나머지 적분에 대해서는 $F(x) = \sin(2x)$ 와 같은 꼴을 짐작해 볼 수 있다. 알맞은 상수를 찾아보자:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{그러므로,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$$

미적분의 기본정리 제1부에 의해,

$$\begin{aligned} F'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t &&=\log(2+\sin x) \\ G'(y)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigg[- \int_0^y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\bigg] &&=-\log(2+\sin y) \\ \end{aligned}$$

따라서,

$$F'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\log 3\qquad G'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=-\log(3)$$

미적분의 기본정리 제1부분에 의해,

$$f'(x) = 100(x^2-3x+2)e^{-x^2} = 100(x-1)(x-2)e^{-x^2}$$

$f'(x)>0$ 일 때마다 $f(x)$ 는 증가하고 $100 e^{-x^2}$ 은 항상 $0$ 보다 엄밀하게 크므로, $f(x)$ 가 증가하는 것은 $(x-1)(x-2)>0$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. 이는 $(x-1)$ 과 $(x-2)$ 의 부호가 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다. $x>2$ 이면 둘 다 양수이고 $x<1$ 이면 둘 다 음수이다. 따라서 $f(x)$ 는 $-\infty<x<1$ 일 때와 $2<x<\infty$ 일 때 증가한다.

참고: 미적분의 기본정리를 쓰지 않아도, $f(x)$ 는 1부터 $x$ 까지 곡선 아래의 넓이이므로, 곡선이 $x$ 축 위에 있을 때는 (양의 넓이를 더하므로) $f(x)$ 가 증가하고, 곡선이 $x$ 축 아래에 있을 때는 (음의 넓이를 더하므로) 감소한다.

$x^2=1+\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용하면, 미적분의 기본정리 제1부에 의해 $2x=f(x)$ 이다.

$x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용한다. 그러면 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$$\begin{aligned} &&f(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} \\ \implies&& f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} =\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x) \\ \implies&& f(4)&= \sin(4\pi)+4\pi\cos(4\pi)=4\pi \end{aligned}$$

“$+C$”는 함수에 임의의 상수를 더할 수 있다는 뜻임을 기억하자. $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 이므로 학생 A와 학생 B의 답은 서로 같은 답이다. 두 답은 상수만큼만 다르다.

따라서 한 학생이 맞으면 두 학생 모두 맞고, 한 학생이 틀리면 두 학생 모두 틀리다. 학생 A의 풀이를 확인하면 다음과 같다. $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x + x + C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} +1 + 0 = f(x)-1+1=f(x)$$ 따라서 학생 A의 답은 실제로 $f(x)$ 의 원시함수이다. 그러므로 두 학생 모두 올바른 답을 얻었다.

참고: 서로 같은 답이 꽤 다르게 보이는 일은 자주 있다. 자신의 풀이를 다른 사람의 풀이와 비교할 때 이 점을 기억해 두면 좋다!

(a) $x=3$ 일 때,

$$\begin{aligned} F(3)&=\displaystyle\int_0^3 3^3 \sin(t)\ \mathrm{d}t=27\int_0^3 \sin t \ \mathrm{d}t \\ \text{미적분의 기본 정리 제2부를 이용하면,} \\ &=27\left[-\cos t\right]_{t=0}^{t=3} =27\left[-\cos 3 - (-\cos 0)\right]\\ &=27(1-\cos 3 ) \end{aligned}$$ (b) 적분이 $t$ 에 대한 것이므로 $x^3$ 항은 적분 밖으로 꺼낼 수 있다. 즉, 적분을 할 때에는 $x^3$ 이 상수이다(미분을 할 때에는 분명히 상수가 아니지만).

$$\begin{aligned} F(x)&=\displaystyle\int_0^x x^3 \sin(t)\ \mathrm{d}t = x^3 \int_0^x \sin(t)\ \mathrm{d}t \\ \text{곱의 미분법과 미적분의 기본 정리 제1부를 이용하면,} \\ F'(x)&=x^3\cdot \sin(x) + 3x^2 \int_0^x \sin(t)\ \mathrm{d}t\\ &=x^3\sin(x)+3x^2\left[-\cos(t)\right]_{t=0}^{t=x}\\ &=x^3\sin(x)+3x^2[-\cos(x)-(-\cos(0))]\\ &=x^3\sin (x) + 3x^2[1-\cos (x)] \end{aligned}$$

참고: 이 문제에서 $x$ 와 $t$ 는 서로 다른 역할을 하므로 서로 다른 이름을 쓰는 것이 매우 중요하다. 이것이 $\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ 를 뜻하면서 $\int_a^x f(x)\mathrm{d}x$ 라고 쓰는 흔한 실수를 피해야 하는 이유 중 하나이다.

(a) 구간 $[2,5]$ 에서 $f$ 와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 부호 있는 넓이의 합은 $\int_2^5 f(x) \, dx$ 이다. 아래 그림은 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 그래프를 나타낸 것이다. 구간 $[2,5]$ 에서 $f$ 의 정적분을 계산하기 위해 부분구간 $[2,3]$ 과 $[3,5]$ 에서의 적분을 생각한다. 이렇게 하고 미적분의 기본정리를 이용하면 $$\begin{aligned}\int_2^5 f(x) \, dx &= \int_2^3 f(x) \, dx + \int_3^5 f(x) \, dx \\ &= \int_2^3 -x+3 \, dx + \int_3^5 x^2-8x+15 \, dx \\ &= \left. \left( -\frac{1}{2}x^2 + 3x \right)\right|_2^3 + \left. \left( \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 15x \right)\right|_3^5 \\ &= \left(\frac{9}{2}-4\right) + \left( \frac{50}{3}-18 \right) \\ &= \frac{127}{6} - 22 = -\frac{5}{6}\end{aligned}\,.$$ (b) 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 평균값을 구하려면 먼저 $$\int_0^5 f(x) \, dx$$ 를 계산해야 한다. (a)의 결과를 이용하고 부분구간 $[0,2]$ 와 $[2,5]$ 를 생각하면 $$\begin{aligned}\int_0^5 f(x) \, dx &= \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^5 f(x) \, dx \\ &= \int_0^2 -x^2 + 2x + 1 \, dx - \frac{5}{6} \\ &= \left. \left( -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right)\right|_0^2 - \frac{5}{6} \\ &= \frac{10}{3} - \frac{5}{6} \\ &= \frac{5}{2}\end{aligned}\,.$$ 따라서 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 평균값은 $$\displaystyle f_{\operatorname{AVG} [0,5]} = \frac{1}{5-0} \int_0^5 f(x) \, dx = \left(\frac{1}{5}\right) \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2}\,.$$ (c) $\int_0^5 f(x) \, dx = \frac{5}{2}$ 이므로, $f$ 와 같으면서 $[5,7]$ 에서도 정의되어 $\int_5^7 g(x) \, dx = -\frac{5}{2}$ 를 만족하는 함수 $g$ 가 필요하다. 연속성을 유지하기 위해 $g(5) = 0$ 도 만족하도록 $g$ 의 식을 택한다. 그래프가 둘러싸는 넓이가 $5/2$ 단위가 되는 일차함수를 고르는 것이 자연스러우며, 이는 기울기의 크기가 $5/4$ 인 함수이다. 확인을 위해 계산하면 $$\begin{aligned}\int_5^7 -\frac{5}{4}(x - 5) \, dx &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left. \left(\frac{x^2}{2} - 5x\right) \right|_5^7 \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( \frac{49-25}{2} - 5(7-5) \right) \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( 12 - 10 \right) \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( 2 \right) = -\frac{5}{2}\end{aligned}\,.$$ 따라서 $0 \le x < 5$ 에서 $g(x) = f(x)$ 이고 $5 \le x \le 7$ 에서 $g(x) = -\frac{5}{4}(x - 5)$ 로 정의한 $g$ 는 원하는 성질을 가진다. $g$ 의 그래프는 아래 그림과 같다.