라그랑주 승수법 연습문제

21.OpenStax 3권 · 4.8절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 사용하여 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

제약 조건 $x-2y+6=0$ 에서 $f(x,y)={x}^{2}-{y}^{2}$ 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

Minimize $f(x,y)={x}^{2}-{y}^{2}$ subject to the constraint $x-2y+6=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법활용자동 분류

22.OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$x+y+z=9$ 이고 $x+2y+3z=20$ 일 때, $f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$ 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

Minimize $f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$ when $x+y+z=9$ and $x+2y+3z=20.$

정답·풀이 보기

최솟값: $f(2,3,4)=29$

원본 교재 풀이(영어)

minimum: $f(2,3,4)=29$

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# 라그랑주 승수법활용자동 분류

23.OpenStax 3권 · 4.8절 · 23번대학 수준우리말 번역

그림과 같이 직사각형 위에 이등변삼각형을 올려놓아 오각형을 만들었습니다. 이 오각형의 둘레가 $10$ 인치일 때, 오각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 오각형의 각 변의 길이를 구하세요.

이등변삼각형이 위에 놓인 직사각형이다. 크기가 θ인 두 밑각을 가진 이등변삼각형의 밑변이 직사각형의 윗변과 겹쳐 있다.

영어 원문 보기

A pentagon is formed by placing an isosceles triangle on a rectangle, as shown in the diagram. If the perimeter of the pentagon is $10$ in., find the lengths of the sides of the pentagon that will maximize the area of the pentagon.

A rectangle with an isosceles triangle on top. The side of the isosceles triangle with the two equal angles of size θ overlaps the top length of the rectangle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법그래프·표 해석자동 분류

24.OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

$12$ ft² 의 판지로 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 합니다. 이러한 상자의 부피의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangular box without a top (a topless box) is to be made from $12$ ft² of cardboard. Find the maximum volume of such a box.

정답·풀이 보기

부피의 최댓값은 $4$ ft³ 이다. 각 모서리의 길이는 $1\,\times \,2\,\times \,2$ ft 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The maximum volume is $4$ ft³. The dimensions are $1\,\times \,2\,\times \,2$ ft.

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# 라그랑주 승수법활용자동 분류

25.OpenStax 3권 · 4.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

타원 ${x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1$ 과 원점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum distances between the ellipse ${x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1$ and the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

26.OpenStax 3권 · 4.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

곡면 ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ 위의 점 중에서 점 $(1,2,-3)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the surface ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ closest to the point $(1,2,-3).$

정답·풀이 보기

곡면 ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ 위의 점 중에서 점 $(1,2,-3)$ 에 가장 가까운 점은 $\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The point on the surface ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ closest to the point $(1,2,-3)$ is $\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right)$ .

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

27.OpenStax 3권 · 4.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

반지름이 $R$ 인 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서 정삼각형의 둘레가 가장 큼을 보이세요(그림 참조).

원 안에 정삼각형이 그려져 있고, 삼각형의 각 꼭짓점이 원에 닿아 있다.

영어 원문 보기

Show that, of all the triangles inscribed in a circle of radius $R$ (see diagram), the equilateral triangle has the largest perimeter.

A circle with an equilateral triangle drawn inside of it such that each vertex of the triangle touches the circle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법증명·논술자동 분류

28.OpenStax 3권 · 4.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

점 $(0,1)$ 에서 포물선 ${x}^{2}=4y$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from point $(0,1)$ to the parabola ${x}^{2}=4y.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1.0$

원본 교재 풀이(영어)

$1.0$

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

29.OpenStax 3권 · 4.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

포물선 $y={x}^{2}$ 에서 점 $(0,3)$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the parabola $y={x}^{2}$ to point $(0,3).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

30.OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

평면 $x+y+z=1$ 에서 점 $(2,1,1)$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the plane $x+y+z=1$ to point $(2,1,1).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{3}$

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

31.OpenStax 3권 · 4.8절 · 31번대학 수준우리말 번역

직육면체 모양의 큰 용기의 부피가 $480$ m³ 이어야 한다. 용기의 바닥은 만드는 데 1 m² 당 $5 가 들고, 윗면과 옆면은 1 m² 당 $3 가 든다. 라그랑주 승수법을 이용하여, 이 크기의 용기 중 비용이 최소가 되는 용기의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

A large container in the shape of a rectangular solid must have a volume of $480$ m³. The bottom of the container costs $5/m² to construct whereas the top and sides cost $3/m² to construct. Use Lagrange multipliers to find the dimensions of the container of this size that has the minimum cost.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법활용자동 분류

32.OpenStax 3권 · 4.8절 · 32번대학 수준우리말 번역

직선 $y=2x+3$ 위의 점 중에서 점 $(4,2)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the line $y=2x+3$ that is closest to point $(4,2).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)$

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

33.OpenStax 3권 · 4.8절 · 33번대학 수준우리말 번역

평면 $4x+3y+z=2$ 위의 점 중에서 점 $(1,-1,1)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the plane $4x+3y+z=2$ that is closest to the point $(1,-1,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

34.OpenStax 3권 · 4.8절 · 34번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y$ 의 최댓값을 구하세요. 여기서 $x\,\text{와}\,y$ 는 직각삼각형의 두 예각을 나타냅니다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 함수의 등고선을 그리세요.

영어 원문 보기

Find the maximum value of $f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y,$ where $x\,\text{and}\,y$ denote the acute angles of a right triangle. Draw the contours of the function using a CAS.

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}$

진폭이 1인 언덕과 구덩이가 번갈아 나타나는 모양이 삼차원 공간 전체에 걸쳐 펼쳐져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}$

An alternating series of hills and holes of amplitude 1 across xyz space.

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

35.OpenStax 3권 · 4.8절 · 35번대학 수준우리말 번역

직육면체가 꼭짓점이 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ , 그리고 원점인 사면체 안에 들어 있습니다. 이 상자의 밑면의 가로, 세로 길이는 $x,y$ 이고, 상자의 높이는 $z$ 입니다. $x,y,\,\text{그리고}\,z$ 의 합이 1.0일 때, 직육면체의 부피가 최대가 되는 각 변의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangular solid is contained within a tetrahedron with vertices at

$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ and the origin. The base of the box has dimensions $x,y,$ and the height of the box is $z.$ If the sum of $x,y,\,\text{and}\,z$ is 1.0, find the dimensions that maximizes the volume of the rectangular solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번

# 라그랑주 승수법활용자동 분류

36.CLP-3 · 2.10절 · 1번대학 수준우리말 번역

(a) 함수 $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 곡선 $xy = 1$ 위에서 최댓값 또는 최솟값을 갖나요? 설명하세요. (b) 곡선 $xy = 1$ 위에서 $f(x, y)$ 의 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Does the function $f(x, y) = x^2 +y^2$ have a maximum or a minimum on the curve $xy = 1$ ? Explain. (b) Find all maxima and minima of $f(x, y)$ on the curve $xy = 1$ .

정답·풀이 보기

(a) $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 점 $(x,y)$ 에서 원점까지의 거리의 제곱이다. 곡선 $xy=1$ 위에는 $x$ 또는 $y$ 가 얼마든지 커지는 점이 있으므로 원점으로부터의 거리도 얼마든지 커진다. 따라서 $f$ 는 이 곡선 위에서 최댓값을 갖지 않는다. 반면 $f$ 는 최솟값을 갖는데, 이는 $xy=1$ 위의 점 중 원점에 가장 가까운 점에서 얻어진다.

(b) 곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이므로 $f=x^2+\frac{1}{x^2}$ 이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) =2x-\frac{2}{x^3} =\frac{2}{x^3}(x^4-1) \end{aligned}$

이고 곡선 위의 어떤 점도 $x=0$ 이 아니므로, 최솟값은 $x=\pm 1$ 일 때 얻어진다. 따라서 최솟값은 $\pm (1,1)$ 에서 나타나며, 이때 $f$ 의 값은 $2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f(x, y) = x^2 +y^2$ is the square of the distance from the point $(x,y)$ to the origin. There are points on the curve $xy=1$ that have either $x$ or $y$ arbitrarily large and so whose distance from the origin is arbitrarily large. So $f$ has no maximum on the curve. On the other hand $f$ will have a minimum, achieved at the points of $xy=1$ that are closest to the origin.

(b) On the curve $xy=1$ we have $y=\frac{1}{x}$ and hence $f=x^2+\frac{1}{x^2}$ . As

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) =2x-\frac{2}{x^3} =\frac{2}{x^3}(x^4-1) \end{aligned}$

and as no point of the curve has $x=0$ , the minimum is achieved when $x=\pm 1$ . So the minima are at $\pm (1,1)$ , where $f$ takes the value $2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 34번

# 라그랑주 승수법계산기본자동 분류

37.CLP-3 · 2.10절 · 30번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가진다고 하자. 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극솟값과 극댓값을 구하는 문제를 생각하자.

$g(x,y) = xy -1$ 로 정의한다. 라그랑주 승수법에 따르면, $(x,y)$ 가 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극소 또는 극대이면 다음을 만족하는 실수 $\lambda$ 가 존재한다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이고 $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 이다. $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 로 정의한다. $x\ne 0$ 에서 $F(x)$ 가 극소 또는 극대이면 다음이 성립한다.

$F'(x)=0 \tag{E2}$

다음의 의미에서 (E1)과 (E2)가 동치임을 보이세요.

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다}\\ &\text{필요충분조건은}\\ &\text{$x\ne 0$ 이 (E2)를 만족하고 $y={1}/{x}$ 인 것이다.} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)$ have continuous partial derivatives. Consider the problem of finding local minima and maxima of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ .

Define $g(x,y) = xy -1$ . According to the method of Lagrange multipliers, if $(x,y)$ is a local minimum or maximum of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ , then there is a real number $\lambda$ such that

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

On the curve $xy=1$ , we have $y=\frac{1}{x}$ and $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . Define $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . If $x\ne 0$ is a local minimum or maximum of $F(x)$ , we have that

$F'(x)=0 \tag{E2}$

Show that (E1) is equivalent to (E2), in the sense that

$\begin{aligned} &\text{there is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)}\\ &\text{if and only if}\\ &\text{$x\ne 0$ obeys (E2) and $y={1}/{x}$.} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

$(x,y)$ 가 $g(x,y)=xy-1=0$ 을 만족하면 $x$ 는 반드시 $0$ 이 아님에 유의한다. 따라서 $x\ne 0$ 이라고 가정해도 된다. 그러면

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다} \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that if $(x,y)$ obeys $g(x,y)=xy-1=0$ , then $x$ is necessarily nonzero. So we may assume that $x\ne 0$ . Then

$\begin{aligned} &\text{There is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)} \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 18번

# 라그랑주 승수법증명·논술도전자동 분류