미적분Ⅰ · 미분 · 11강

함수의 그래프와 최대·최소

Name: 미적분Ⅰ 11강 함수의 그래프와 최대·최소
Uploaded: 2026-10-24T11:08:18.386Z
Duration: 5 min 22 s
Description: 증감표로 그래프를 그리고 최댓값·최솟값 찾기

증감표로 그래프를 그리고 최댓값·최솟값 찾기

5:22 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 4.3절 연습문제 42, 4.7절 연습문제 27 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 다시 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$f'(x)=0$ 인 $x$ 와 부호 변화를 증감표로 정리하면 그래프의 개형이 나옵니다.

닫힌구간 $[a,b]$ 에서 최댓값·최솟값은 극값과 양 끝값 $f(a)$ , $f(b)$ 가운데에서 찾습니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

다 풀었으면 정답 확인

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. $f$ 의 변곡점을 구하세요.

$f(x)=x^3-4x^2+x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where $f$ is concave up or concave down, and b. the inflection points of $f.$

$f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2$

풀이 보기

이계도함수 $f''$ 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

1
이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $f''(x)=6x-8$
2
$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.
3
a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.
4
b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.

답

a. $x>\frac43$ 에서 아래로 볼록, $x<\frac43$ 에서 위로 볼록 b. 변곡점 $x=\frac43$ , 즉 $\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)$

자주 하는 실수

$f''(x)=0$ 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for $x>\frac{4}{3},$ concave down for $x<\frac{4}{3}$ b. Inflection point at $x=\frac{4}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기계산보통

3.OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번우리말 풀이

$f(x)$ 가 세 개의 근을 가지면 변곡점이 $1$ 개 있다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has three roots, then it has $1$ inflection point.

풀이 보기

근이 3개이면 롤의 정리를 두 번 써서 $f''$ 의 근이 있음을 알 수 있지만, 변곡점의 개수까지는 함수의 종류에 따라 달라요.

1
롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.
2
삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.
3
일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

답

일반적으로는 거짓(반례 $y=x^4-x^2$ : 근 3개, 변곡점 2개). 삼차함수라면 참이다

자주 하는 실수

근의 개수와 변곡점의 개수가 늘 같다고 생각하는 실수가 있어요. 변곡점은 $f''$ 의 부호 변화로 정해져요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

True, examine derivative

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.4절 · 8번우리말 번역

$E(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}}$ 이라 하세요. 여기서 $m$ 은 임의의 실수이고 $s$ 는 양의 실수입니다.

(a) $E'(x)$ 를 구하고, 이를 이용하여 $E$ 의 모든 임계수를 구하세요. (b) $E$ 에 대한 1계 도함수의 부호표를 만들고, 함수의 각 임계수가 극솟값, 극댓값, 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것인지 분류하세요. (c) $E''(x)$ 는 다음 식으로 주어짐을 보일 수 있습니다. $E''(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \left(\frac{(x-m)^2 - s^2}{s^4} \right)\,.$ $E''(x) = 0$ 인 $x$ 의 값을 모두 구하세요. (d) $\lim_{x \to \infty} E(x)$ 와 $\lim_{x \to -\infty} E(x)$ 를 구하세요. (e) $y = E(x)$ 의 그래프 위의 중요한 점들이 $m$ 과 $s$ 에 어떻게 의존하는지 분명하게 보이도록, 일반적인 함수 $E$ 의 그래프를 이름을 붙여 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $m$ 과 $s$ 를 상수로 보고 연쇄 법칙을 적용하면, $E'(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left[ -\frac{(x-m)^2}{2s^2} \right] = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \cdot \left[ -\frac{2(x-m)}{2s^2} \right]$ $E'(x)$ 는 모든 $x$ 의 값에서 정의되므로, 임계수는 $E'(x) = 0$ 인 곳에서만 나타난다. $e$ 의 거듭제곱은 결코 0이 되지 않으므로, $E'(x) = 0$ 이 되는 방법은 $\left[ -\frac{2(x-m)}{2s^2} \right] = 0$ 인 경우뿐이고, 이로부터 $x = m$ 이다. 따라서 $x = m$ 이 $E$ 의 유일한 임계수이다. (b) (a)에서 보았듯이 $x = m$ 이 $E$ 의 유일한 임계수이다. 게다가 $e$ 의 거듭제곱은 항상 양수이므로, $E'(x)$ 의 부호는 전적으로 식 $-\frac{2(x-m)}{2s^2} = -\frac{1}{2}(x-m)$ 에 의해 정해진다. $x$ 의 이 일차함수는 기울기가 음수이므로 $x < m$ 에서 양수이고 $x > m$ 에서 음수이며, 따라서 $E'(x)$ 는 $x < m$ 에서 양수이고 $x > m$ 에서 음수이다. 그러므로 $x < m$ 에서 $E$ 는 증가하고 $x > m$ 에서 $E$ 는 감소하며, $x = m$ 에서 극댓값을 가진다. (c) 주어진 $E''(x)$ 의 식과, $e$ 의 거듭제곱은 양수라는 사실로부터, $E''(x) = 0$ 이 되는 방법은 $\left(\frac{(x-m)^2 - s^2}{s^4} \right) = 0\,$ 인 경우뿐이고, 이로부터 $(x-m)^2 = s^2$ 이므로 $x-m = \pm s$ , 즉 $x = m \pm s$ 이다. 이 두 값이 $E''(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값이다. (d) $x \to \pm \infty$ 일 때, 이차함수 $-\frac{(x-m)^2}{2s^2}$ 은 한없이 감소한다. 이 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 그렇다. 따라서 $E(x)$ 의 식에서 $e$ 의 지수는 한없이 감소하고, $e$ 를 절댓값이 점점 더 큰 음수만큼 거듭제곱하면 그 결과가 0에 가까워지므로 $E(x)$ 는 $0$ 에 가까워진다. 그러므로 $\lim_{x \to \infty} E(x) = \lim_{x \to -\infty} E(x) = 0$ 이다. (e) $E$ 는 $x = m$ 에서 하나의 임계수를 가지고, $x = m \pm s$ 에서 변곡점이 될 수 있는 두 점을 가지며, $x \to \pm \infty$ 일 때 $E(x) \to 0$ 임을 보였다. 이 모든 성질이 다음 그림에 나타나 있다. 종 모양 곡선의 그래프로, 최댓값 (m,E(m))이 제1사분면에 있다. 변곡점도 표시되어 있다: (m pm s,E(m pm s)). 그래프의 나머지 모든 부분은 앞에서 언급한 성질들을 나타낸다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기증명·논술도전

4.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$(2,1)$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

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