함수의 증가·감소와 극값

극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.

예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$, 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.

결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $$x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.

함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)

최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.

이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.

결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $$f''(x)=6x-8$$

$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.

a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.

b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.