빌드라인 스쿨

미적분Ⅰ · 미분 · 8강

접선의 방정식

접점·기울기·지나는 점이 주어질 때의 접선

5:27 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1절 연습문제 17·29 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 다시 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$ 에서의 접선: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$

기울기가 $m$ 인 접선은 $f'(t)=m$ 을 풀어 접점 $t$ 를 먼저 찾습니다.

곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 $(t,f(t))$ 로 두고, 그 접선이 주어진 점을 지난다는 조건으로 $t$ 를 구합니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

다 풀었으면 정답 확인

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 이용해 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하고, b. $x=a$ 에서 $f$ 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=2-3x^2,\ a=-2$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)=2-3{x}^{2},a=-2$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 $h$ 가 약분되고, 남은 식에 $h\to 0$ 을 넣어요.

1
함숫값을 구해요. $f(-2)=2-3\cdot 4=-10$ 이에요. 그리고 $f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2$
2
a: 정의 식을 계산해요. $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h$ 이제 $h\to 0$ 이면 $12-3h\to 12$ 이므로 $f'(-2)=12$ 예요.
3
b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 $(-2,-10)$ , 기울기는 $12$ 이므로 $y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14$

답

a. $12$ b. $y=12x+14$

자주 하는 실수

$(-2+h)^2$ 를 전개할 때 $4+h^2$ 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $12$ b. $y=12x+14$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.1절 · 3번우리말 번역

아래 함수들을 $x=-2$ 에서 $x=2$ 까지의 할선의 기울기가 모두 같은 것끼리 묶으세요.

다 풀었으면 정답 확인

모든 경우에서 할선의 기울기는 $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$ 이다. 따라서 두 직선의 기울기가 같다면 그 차 $f(2)-f(-2)$ 의 값도 같다.

(a), (c), (e)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=1$ 이므로 할선의 기울기가 모두 같다. (b)와 (f)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=-1$ 이므로 할선의 기울기가 서로 같다. (d)의 그래프는 $f(2)-f(-2)=0$ 이고 이 성질을 가진 그래프는 (d)뿐이므로, 다른 그래프들과 할선의 기울기가 같지 않다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접선의 방정식계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, $0/0$ 꼴이 되면 인수분해해서 $x-1$ 을 약분해요.

1
정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$
2
분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.
3
인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$
4
극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

답

$-3$

자주 하는 실수

$1-x^3$ 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$-3$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.2절 · 8번우리말 번역

$f(7)=26$ 이고 $f(8) = 22$ 일 때, $f\,'(7)$ 을 어림하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-4$

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# 평균변화율과 미분계수계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.7절 · 10번우리말 번역

함수 $g(x) = \sqrt{|x|}$ 를 생각하세요.

(a) 그래프를 이용하여 $g$ 가 $x = 0$ 에서 미분가능하지 않은 이유를 시각적으로 설명하세요. (b) 도함수의 극한 정의를 이용하여 다음을 보이세요. $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\,.$ (c) (b)의 극한을 절댓값이 작은 양수와 음수 $h$ 의 값으로 어림하여 $g'(0)$ 의 값을 알아보세요. 예를 들어 $\frac{\sqrt{|-0.01|}}{0.01}$ 을 계산해 볼 수 있습니다. 0.01보다 0에 더 가까운 값을 포함하여 서로 다른 $h$ 의 값을 (양수와 음수 모두) 여러 개 사용하세요. 이 결과는 $g'(0)$ 에 대해 무엇을 말해 주는지 설명하세요. (d) (a)의 그래프를 이용하여 $y = g'(x)$ 의 대략적인 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 아래 (d)의 그림에서 왼쪽에 나타난 것처럼, $g$ 는 $x = 0$ 에서 뾰족한 꼭짓점을 가지므로 이 점에서 $g$ 는 미분가능하지 않다. 정의에 따라 다음을 얻는다. $\begin{aligned}g'(0) & = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|} - \sqrt{|0|}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\end{aligned}$ (b) 다음 표에 $h$ 가 작은 값일 때 $\frac{\sqrt{|h|}}{h}$ 의 값을 기록하였다.

$h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$-0.1$	$-0.01$	$-0.001$	$-0.0001$
$\sqrt{\\|h\\|}/h$	$3.162$	$10$	$31.62$	$100$	$-3.162$	$-10$	$-31.62$	$-100$
이 결과는 다른 관점에서도 $g'(0)$ 이 존재하지 않음을 보여 준다. 절댓값이 작은 음수 $h$ 에 대해 평균변화율은 음수이고 한없이 더 작아진다. 작은 양수 $h$ 에 대해서는 평균변화율이 양수이고 한없이 증가한다. 따라서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\|h\|}}{h}$ 은 존재하지 않는다.
(c) $g'$ 의 대략적인 그래프는 아래 그림의 오른쪽에 나타나 있다.
![왼쪽은 g(x) = sqrt	x	의 그래프이다. 이 그래프는 가로 방향으로 열린 포물선의 두 조각으로 이루어져 있다. x gt 0 일 때는 포물선 x = y 2 의 위쪽 절반이고, x lt 0 일 때는 포물선의 위쪽 절반이다.](activecalc/1_7_Ez4_Soln-updated.svg)

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# 미분가능성과 연속성증명·논술보통

Isaac 실험으로 확인

강의 예제를 가상 실험실(NVIDIA Isaac Sim 물리 시뮬레이션)에서 돌려, 미적분으로 계산한 값과 실험에서 잰 값을 나란히 놓았어요.

곡면 끝에서 떠나는 방향 = 접선

강의 예제 — $f(x)=x^2$ 의 $a=1$ 에서 접선 $y=2x-1$ (기울기 $f'(1)=2$ )

실험 화면은 4.8배 느리게 보여 줘요 · 점선 = 미적분으로 계산한 자리

무엇	미적분으로 계산	Isaac 에서 잰 값	차이	허용
떠나는 방향의 기울기	$2$	2.001	0.04%	±1.0%
떠나는 방향의 각도	$\arctan 2\approx 63.43^\circ$ °	63.44 °	0.009156 °	±0.25 °

떠나는 방향의 기울기
계산
$2$
잰 값
2.001
차이 0.04% · 허용 ±1.0%
떠나는 방향의 각도
계산
$\arctan 2\approx 63.43^\circ$ °
잰 값
63.44 °
차이 0.009156 ° · 허용 ±0.25 °

무엇이 독립인가 · 같은 입력: 곡면 모양 y=x²(메시) · 독립: 굴러 올라가고 떠나는 움직임은 PhysX 접촉이 만들고, 방향은 날아간 궤적으로 잼(도함수를 쓰지 않음)

Isaac Sim 6.0.1-rc.7 · 물리 1000 Hz · 실행 20261024-202341-edulab_c1_08

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기