미적분의 기본정리

(a) 조수는 시간당 $R(t) = 2 + 5\sin \left( \frac{4\pi t}{25} \right)$ 세제곱야드의 비율로 모래를 쓸어 가므로, 시간 구간 $[0,6]$ 에서 $R(t) \cdot \triangle t$ 의 단위가 "세제곱야드"임을 생각하면, 이 시간 구간 동안 쓸려 간 모래의 총량은 다음과 같다. $$\int_0^6 \left[2 + 5\sin \left( \frac{4\pi t}{25} \right) \right] \, dt\,.$$ (b) 모래가 쓸려 가기도 하고 보태지기도 하므로, 주어진 시각 $t$ 까지 더해지거나 빠진 모래의 총량은 모래가 보태지는 비율과 쓸려 가는 비율의 차를 적분하여 구할 수 있다. 특히 해변에 있는 모래의 총변화량은 변화율의 정적분이므로, 시각 $x$ 에서 해변에 있는 모래의 총량은 처음 양(2500 세제곱야드)에 총변화량을 더한 것과 같다. $$Y(x) = 2500 + \int_0^x \left[ S(t) - R(t) \right] \, dt = 2500 + \int_0^x \left[ \frac{15t}{1+3t} - \left( 2 + 5\sin \left( \frac{4\pi t}{25} \right) \right) \right] \, dt\,.$$ (c) $Y(x)$ 는 시각 $x$ 에서 해변에 있는 모래의 총량을 나타낸다는 것을 안다. 따라서 시각 $t=4$ 일 때 해변에 있는 모래의 총량(세제곱야드)의 순간변화율은 $Y'(4)$ 이다. 먼저 $Y'(x)$ 를 구한다. 미적분의 기본정리 제2부분에 의해 $$Y'(x) = S(x) - R(x)\,,$$ 이므로 $Y'(4) = S(4) - R(4) \approx -1.90875$ 세제곱야드/시간이다. (d) 모래의 총량 함수 $Y(x)$ 가 $[0,6]$ 에서 최솟값을 갖는 곳을 찾기 위해 $Y'(x) = S(x) - R(x)$ 의 변화를 살펴본다. 이 구간에서 $Y'(x)$ 의 그래프를 그려 보면 $x \approx 5.118$ 에서 $Y'(x) = 0$ 이고, $0 \le x < 5.118$ 에서는 $Y'(x) < 0$, $5.118 < x \le 6$ 에서는 $Y'(x) > 0$ 임을 알 수 있다. 따라서 $Y$ 는 $x \approx 5.118$ 에서 감소하다가 증가로 바뀌므로 구간 $[0,6]$ 에서 그 지점에서 최솟값을 가진다. 또한 $Y(5.118) \approx 2492.368$ 이다.

예시 답: $f(x)=e^{-x}$ 와 $f(x)=e^{-x}+x$

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

단위원의 넓이 $A$에 대해 $\pi\le A\le\pi$이므로 $A=\pi$