1.OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

$f$ 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 $f'(x)$ 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

1
기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$ , $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.
2
부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.
3
크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$ )을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.
4
그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

$f$ 의 값이 큰 곳에서 $f'$ 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. $f'$ 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{9}{x}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{-9}{{x}^{2}}$

이 문제로 이어서 풀기

# 도함수의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 도함수 $f'(x)$ 를 구한 뒤 계산기로 $f'(x)$ 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=x^3+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)={x}^{3}+1$

풀이 보기

$x^n$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$ 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

1
도함수를 구해요. $x^3$ 은 $3x^2$ 으로 미분되고, 상수 $1$ 은 미분하면 $0$ 이에요. 따라서 $f'(x)=3x^2+0=3x^2$
2
$f$ 의 그래프를 생각해요. $y=x^3+1$ 은 $y=x^3$ 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 $f'$ 가 $x^3$ 의 도함수와 같은 것과 맞아요.
3
$f'$ 의 그래프를 생각해요. $y=3x^2$ 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. $y=x^2$ 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 $f'(0)=0$ 이어서 $f$ 는 $x=0$ 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), $f'\ge 0$ 이므로 $f$ 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 $f'$ 이고 실선이 $f$ 예요.

답

$f'(x)=3x^2$ (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 $1$ 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=3{x}^{2}$

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

다 풀었으면 정답 확인

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본

3.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)$

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

1
식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$
2
미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.
3
항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$ , $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $f'(x)=-\frac{5}{x^2}$

답

$f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}$

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 $x^{-1}$ 의 도함수를 $-x^{0}$ 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 $x^{-2}$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. $f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=-3x^{2}+9x-1$

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# 다항함수의 미분법계산기본

4.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

$f(x)=2x^3+4x^2-5x-3$ 의 그래프에서 $x=-1$ 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of $f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3$ at $x=-1.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

1
접점의 좌표를 구해요. $x=-1$ 일 때 $f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4$ 이므로 접점은 $(-1,\,4)$ 예요.
2
기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 $f'(-1)$ 이에요. 먼저 도함수는 $f'(x)=6x^2+8x-5$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $f'(-1)=6-8-5=-7$ 이에요.
3
직선의 방정식을 세워요. 점 $(-1,4)$ 를 지나고 기울기가 $-7$ 인 직선은 $y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3$

답

$y=-7x-3$

자주 하는 실수

접점의 $y$ 좌표를 구하지 않고 $f'(-1)$ 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-7x-3$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 이용해 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하고, b. $x=a$ 에서 $f$ 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=2-3x^2,\ a=-2$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

a. $12$ b. $y=12x+14$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 접선의 방정식계산보통

도함수와 미분법

핵심 정리

연습문제