1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

다 풀었으면 정답 확인

$-\infty$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

풀이 보기

분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아니면 $\pm\infty$ 로 가요. 부호는 $x$ 가 $1$ 의 왼쪽에서 다가갈 때의 분모 부호로 정해요.

1
직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$ , 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.
2
인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ , 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
3
분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.
4
왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

답

$-\infty$

자주 하는 실수

$\dfrac{5}{0}$ 을 보고 부호를 따지지 않은 채 그냥 $\infty$ 라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.4절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 를 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 문제를 시작하는 한 가지 방법은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ 임을 떠올리는 것이다. ( $\dfrac{1}{x}$ 이 아니라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 쓰는 것이 중요한데, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ 은 존재하지 않기 때문이다.) 이를 3만큼 “평행이동”하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ 를 얻는다. 따라서 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ 이 되도록 하면 충분하다. $f(x)=x-3$ , $g(x)=(x-3)^3$ 으로 잡으면 이를 이룰 수 있고, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 도 그대로 성립한다. 이 역시 가능한 여러 풀이 중 하나이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극한의 성질과 계산계산보통

3.OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to 2^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to {2}^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)$

풀이 보기

$x=2$ 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

1
어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.
2
(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.
3
(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.
4
그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

답

(a) $1$ (b) $1$

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x < 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x>= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 $r$ 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. $E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}}$ 이고, 여기서 $E$ 는 전기장의 크기, $q$ 는 입자의 전하, $r$ 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, $\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}$ 은 쿨롱 상수로 $8.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ 예요.

a. 입자의 전하가 $q=10^{-10}$ 일 때 그래픽 계산기로 $E(r)$ 의 그래프를 그리세요. b. $\lim_{r\to 0^{+}}E(r)$ 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2}$ 의 그래프(그림 참조) (b) $\infty$ . 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번우리말 풀이

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 $r$ 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. $E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}}$ 이고, 여기서 $E$ 는 전기장의 크기, $q$ 는 입자의 전하, $r$ 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, $\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}$ 은 쿨롱 상수로 $8.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ 예요.

a. 입자의 전하가 $q=10^{-10}$ 일 때 그래픽 계산기로 $E(r)$ 의 그래프를 그리세요. b. $\lim_{r\to 0^{+}}E(r)$ 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

영어 원문 보기

[T] In physics, the magnitude of an electric field generated by a point charge at a distance r in vacuum is governed by Coulomb’s law: $E(r)=\frac{q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}},$ where E represents the magnitude of the electric field, q is the charge of the particle, r is the distance between the particle and where the strength of the field is measured, and $\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$ is Coulomb’s constant: $8.988\,\times \,{10}^{9}\,\text{N}\cdot {\text{m}}^{2}/{\text{C}}^{2}.$

a. Use a graphing calculator to graph $E(r)$ given that the charge of the particle is $q={10}^{-10}.$ b. Evaluate $\lim_{r\to {0}^{+}}E(r).$ What is the physical meaning of this quantity? Is it physically relevant? Why are you evaluating from the right?

풀이 보기

$r\to0^{+}$ 일 때 분모 $r^2$ 이 $0$ 에 가까워져 전체 값이 한없이 커져요.

1
식을 간단히 해요. $q=10^{-10}$ 을 넣고 쿨롱 상수를 곱하면 $E(r)=\dfrac{8.988\times10^{9}\cdot10^{-10}}{r^2}=\dfrac{0.8988}{r^2}$ 이에요.
2
(a) 그래프의 모양이에요. 거리 $r>0$ 일 때 $r$ 이 커지면 $E$ 는 $0$ 에 가까워지고, $r$ 이 $0$ 에 가까워지면 $E$ 는 한없이 커지는 곡선이에요. 식 자체는 $r<0$ 에서도 그려지지만(좌우대칭인 두 가닥), 거리는 음수가 될 수 없어서 물리적으로는 $r>0$ 쪽만 써요.
3
(b) 극한을 구해요. $r\to0^{+}$ 이면 $r^2\to0^{+}$ 이고 분자 $0.8988$ 은 양수이므로

$\lim_{r\to0^{+}}\frac{0.8988}{r^2}=\infty$
4
의미를 해석해요. 입자에 가까이 갈수록 전기장의 크기가 끝없이 커진다는 뜻이에요. 하지만 실제 입자는 크기가 있고 거리 $0$ 까지 갈 수 없어서, 무한대가 되는 것은 점전하라는 이상화 때문에 생긴 값이고 현실의 값은 아니에요.
5
왜 오른쪽에서 다가가는지 정리해요. 거리 $r$ 은 $0$ 보다 큰 값만 가질 수 있어서 $r<0$ 쪽에서 다가가는 것은 의미가 없기 때문이에요.

답

(a) $E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2}$ 의 그래프(그림 참조) (b) $\infty$ . 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

자주 하는 실수

극한이 $\infty$ 라는 것을 전기장이 실제로 무한대가 된다는 뜻으로 받아들여요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of a function with two curves. The first is in quadrant two and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to negative infinity. The second is in quadrant one and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to infinity.

b. ∞. The magnitude of the electric field as you approach the particle q becomes infinite. It does not make physical sense to evaluate negative distance.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

다 풀었으면 정답 확인

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 좌극한과 우극한활용보통

극한의 성질과 계산

핵심 정리

연습문제