속도와 거리

$\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x$이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. $\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx$예요.

$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$이므로 $\frac12\ln|x|+C$예요. $x$가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.

변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.

순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $$\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$$

확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$, 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.

처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$, $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.

순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $$\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$$

참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$, 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).

멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.

거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $$D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$$

마른 콘크리트($a=7$)에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$, $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.

젖은 아스팔트($a=2.5$)에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$, $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.