미적분Ⅰ · 적분 · 15강

정적분의 뜻

Name: 미적분Ⅰ 15강 정적분의 뜻
Uploaded: 2026-10-23T14:30:30.702Z
Duration: 6 min 14 s
Description: 넓이를 잘게 나눠 더한 값의 극한

넓이를 잘게 나눠 더한 값의 극한

6:14 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1절 연습문제 19, 5.2절 연습문제 30 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

구간을 $n$ 등분한 직사각형 넓이의 합의 극한이 정적분입니다. $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\,\Delta x$

$\int_a^a f(x)\,dx=0$ , $\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ , $\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

영어 원문 보기

Compute the left and right Riemann sums—L₆ and R₆, respectively—for $f(x)=\sqrt{9-{(x-3)}^{2}}$ on $[0,6]$ and compare their values.

풀이 보기

구간을 6등분하면 폭이 1이고, 좌합과 우합은 양 끝 직사각형 하나만 다르게 포함해요.

1
$[0,6]$ 을 6등분하면 $\Delta x=1$ 이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$ 이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$ , $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$ , $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$ , $f(3)=3$ , $f(4)=\sqrt8$ , $f(5)=\sqrt5$ , $f(6)=0$ 이에요.
2
좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$ 예요.
3
우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$ 예요.
4
두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$ 과 우합에만 들어가는 $f(6)$ 이 모두 $0$ 이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$ 보다 약간 작은 근삿값이에요.

답

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자주 하는 실수

좌합과 우합이 항상 다르다고 생각해요. 양 끝의 함숫값이 같으면 두 값이 같아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{6}=13.12899={R}_{6}.$ They are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

다 풀었으면 정답 확인

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번우리말 풀이

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 $n$ 개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 $1$ 이고 높이는 $\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 $B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 이고 높이는 $H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 $\pi$ 임을 논증하세요.

$중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.$

영어 원문 보기

A unit circle is made up of n wedges equivalent to the inner wedge in the figure. The base of the inner triangle is 1 unit and its height is $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ The base of the outer triangle is $B=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ and the height is $H=B\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ Use this information to argue that the area of a unit circle is equal to π.

풀이 보기

원 안쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이와 바깥쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이로 원의 넓이를 위아래에서 끼우고, $n\to\infty$ 로 보내요.

1
단위원의 넓이를 $A$ 라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$ 인 $n$ 개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$ , 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$ )이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$ 이고 $n$ 개를 모으면 원 안에 들어가므로 $\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$
2
반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$ 이에요. $n$ 개를 모으면 원을 덮으므로 $A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$
3
왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$ 이고, $n\to\infty$ 이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$ 이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$ 에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$ 예요.
4
오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 이면 $\frac{\pi}{n}\to0$ 이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$ 이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$ 이고 $A\le\pi$ 예요.
5
$\pi\le A\le\pi$ 이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$ 예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$ 예요.

답

단위원의 넓이 $A$ 에 대해 $\pi\le A\le\pi$ 이므로 $A=\pi$

자주 하는 실수

안쪽 삼각형만 쓰고 바깥쪽을 빼먹으면 $A\ge\pi$ 만 나와요. 위아래 두 부등식이 모두 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

Let A be the area of the unit circle. The circle encloses n congruent triangles each of area $\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{2},$ so $\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)\le A.$ Similarly, the circle is contained inside n congruent triangles each of area $\frac{BH}{2}=\frac{1}{2}{\left( \cos \left( \frac{\pi }{n} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)\tan \left( \frac{\pi }{n} \right) \right)}^{2}\sin \left( \frac{2\pi }{n} \right),$ so $A\le \frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)(\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan {\left(\frac{\pi }{n}\right))}^{2}.$ As $n\to \infty ,\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\left(\frac{2}{n}\right)}A\to \pi ,$ so we conclude $\pi \le A.$ Also, as $n\to \infty ,\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\to 1,$ so we also have $A\le \pi .$ By the squeeze theorem for limits, we conclude that $A=\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 41번우리말 번역

다음 표는 표시된 해의 7월부터 시작하는 미국 인구의 증가율(퍼센트)을 나타낸 것입니다. 2000년 7월의 미국 인구가 281,421,906명이었다면, 2010년 7월의 미국 인구를 어림하세요.

미국 인구의 연간 증가율, 2000–2009

연도	연간 변화율(%)
2000	1.12
2001	0.99
2002	0.93
2003	0.86
2004	0.93
2005	0.93
2006	0.97
2007	0.96
2008	0.95
2009	0.88

출처: http://www.census.gov/popest/data.

(힌트: 2001년 7월의 인구를 구하려면 2000년 7월의 인구에 1.0112를 곱하면 284,573,831을 얻습니다.)

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

309,389,957

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# 정적분과 급수(구분구적법)증명·논술도전

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 항등식 $\int_{-A}^{A}f(x)dx=\int_{-A}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{A}f(x)dx$ 를 이용하여 적분을 계산하세요.

$\int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the identity ${\int }_{-A}^{A}f(x)dx={\int }_{-A}^{0}f(x)dx+{\int }_{0}^{A}f(x)dx$ to compute the integrals.

${\int }_{-\sqrt{\pi }}^{\sqrt{\pi }}\frac{t}{1+\cos t}dt$

풀이 보기

구간이 $0$ 에 대해 대칭이고 피적분함수가 홀함수이면 적분값은 $0$ 이에요.

1
피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$ 라 해요. 분모가 $0$ 이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$ 이므로 $\cos t>-1$ 이고, $1+\cos t>0$ 이라 $g$ 는 구간 전체에서 연속이에요.
2
홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$ 이므로 홀함수예요.
3
주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$ 예요. 앞의 적분에서 $t=-u$ 로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$ 예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$ 이에요.

답

$0$

자주 하는 실수

홀함수인지 확인하지 않고 $0$ 부터 $\sqrt\pi$ 까지 적분한 값의 두 배로 계산해요. 그건 짝함수일 때만 맞아요.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is odd; the integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

$f$ 와 $g$ 가 연속함수이고, $[a,b]$ 의 모든 부분 구간 $[c,d]$ 에 대해 $\int_{c}^{d}f(t)dt\le\int_{c}^{d}g(t)dt$ 가 성립한다고 해요. 이때 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

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# 정적분의 뜻과 성질계산보통

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번우리말 풀이

영어 원문 보기

Suppose f and g are continuous functions such that ${\int }_{c}^{d}f(t)dt\le {\int }_{c}^{d}g(t)dt$ for every subinterval $[c,d]$ of $[a,b].$ Explain why $f(x)\le g(x)$ for all values of x.

풀이 보기

어떤 점에서 $f>g$ 라고 가정하면, 연속이므로 그 근처 구간 전체에서 $f>g$ 이고 적분도 $f$ 쪽이 커져서 가정과 모순이에요.

1
귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$ 에서 $f(t_0)>g(t_0)$ 라고 가정해요.
2
$h=f-g$ 라 하면 $h$ 는 연속이고 $h(t_0)>0$ 이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$ 를 포함하는 구간 $[c,d]$ ( $c<d$ )가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$ 이에요.
3
그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$ 이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$ 예요.
4
이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$ 와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 예요.

답

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

자주 하는 실수

한 점에서만 $f>g$ 이면 적분에는 영향이 없다고 생각해요. 연속이면 그 점 주변 구간까지 $f>g$ 가 되어 적분이 달라져요.

원본 교재 풀이(영어)

If $f({t}_{0})>g({t}_{0})$ for some ${t}_{0}\in [a,b],$ then since $f-g$ is continuous, there is an interval containing t₀ such that $f(t)>g(t)$ over the interval $[c,d],$ and then ${\int }_{d}^{d}f(t)dt>{\int }_{c}^{d}g(t)dt$ over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

다 풀었으면 정답 확인

$0$

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# 정적분의 뜻과 성질증명·논술도전

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