미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 · 5강

연속함수의 성질

Name: 미적분Ⅰ 5강 연속함수의 성질
Uploaded: 2026-10-24T10:48:15.467Z
Duration: 5 min 40 s
Description: 최대·최소 정리와 사잇값 정리

최대·최소 정리와 사잇값 정리

5:40 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 2.4절 연습문제 21·23 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 다시 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

최대·최소 정리: $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 가집니다.

사잇값 정리: $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a)\ne f(b)$ 이면, $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값 $k$ 에 대해 $f(c)=k$ 인 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 있습니다.

특히 $f(a)f(b)<0$ 이면 방정식 $f(x)=0$ 은 $(a,b)$ 에서 실근을 적어도 하나 가집니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1}$ at $x=1$

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

1
함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.
2
극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$
3
결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

힘을 $R$ 에서 $0$ 으로 만드는 대신, $r\ge R$ 에서 힘이 $10^{-20}$ 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 $1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}$ , 쿨롱 상수는 $k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2$ 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 $R$ 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

있어요. $R\approx0.0001519\,\text{m}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 함수의 연속개념 확인기본

2.OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

다 풀었으면 정답 확인

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 함수의 연속계산보통

3.OpenStax 1권 · 2.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에서 정의되어 있다고 해요. 각 설명에 맞는 성질을 가진 그래프를 그리세요.

$x=1$ 에서 불연속이고 $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ , $\lim_{x\to 2}f(x)=4$ 인 함수

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=1$ with $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ and $\lim_{x\to 2}f(x)=4$

풀이 보기

$x=1$ 에서만 일부러 끊어 놓고 나머지는 두 극한 조건을 만족하는 선으로 이으면 돼요.

1
조건을 정리해요. 세 가지가 필요해요. ① $x=1$ 에서 끊어질 것, ② $x=-1$ 근처에서 $y$ 가 $-1$ 에 가까울 것, ③ $x=2$ 근처에서 $y$ 가 $4$ 에 가까울 것.
2
쉬운 식을 골라요. $x<1$ 에서는 $f(x)=x$ 로 놓으면 $x\to-1$ 일 때 $-1$ 이에요. $x\ge1$ 에서는 $f(x)=x+2$ 로 놓으면 $x\to2$ 일 때 $4$ 예요.
3
$x=1$ 에서 끊어졌는지 확인해요. 왼쪽 극한은 $1$ , 오른쪽 극한은 $1+2=3$ 이에요. 극한이 서로 달라 $x=1$ 에서 불연속(점프)이에요. 그래프는 점 $(1,1)$ 까지 오는 선과 점 $(1,3)$ 에서 시작하는 선으로 그려요.

답

예시 답: $f(x)=\begin{cases}x,&x<1\\x+2,&x\ge1\end{cases}$ (정답은 여러 가지예요)

자주 하는 실수

그래프를 한 번에 이어서 그려 $x=1$ 에서 끊기지 않게 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

The graph of a piecewise function with two parts. The first part is an increasing curve that exists for x < 1. It ends at (1,1). The second part is an increasing line that exists for x > 1. It begins at (1,3).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$k=\dfrac{16}{3}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 함수의 연속그래프·표 해석보통

4.OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번우리말 풀이

영어 원문 보기

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10⁻²⁰ for $r\ge R.$ Assume two protons, which have a magnitude of charge $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{C},$ and the Coulomb constant ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}.$ Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

답 쓰고 채점

풀이 보기

경계 $r=R$ 에서 쿨롱 힘 $\dfrac{k_eq^2}{R^2}$ 이 주어진 값 $10^{-20}$ 과 같아야 연속이에요.

1
조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 $F=\dfrac{k_eq^2}{r^2}$ 이에요. $r=R$ 에서 이 힘이 $10^{-20}$ 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

$\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}$
2
$R^2$ 에 대해 풀어요. $R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}}$ 이에요.
3
값을 넣어 계산해요. $q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38}$ 이고 $k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28}$ 이므로

$R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}$
4
제곱근을 취해요. $R>0$ 이므로 $R=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m}$ 예요.

답

있어요. $R\approx0.0001519\,\text{m}$

자주 하는 실수

단위와 지수를 잘못 계산해요. 특히 $q^2$ 에서 $10^{-19}$ 도 함께 제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$R=0.0001519\,\text{m}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 중에서 $f(0)=0$ , $f(2)=2$ 이고 $f(x)$ 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

한 가지 예는 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right.$ 이다. 사잇값 정리(IVT)는 $f$ 가 $[0,2]$ 에서 연속일 때에만 $[0,2]$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=1$ 임을 보장한다. $f$ 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 연속활용보통

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기