빌드라인 스쿨

미적분Ⅰ · 미분 · 9강

평균값 정리

롤의 정리와 평균값 정리

5:21 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4절 연습문제 10·30 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 다시 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

롤의 정리: $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하고 $f(a)=f(b)$ 이면 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 $(a,b)$ 에 있습니다.

평균값 정리: $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하면 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 인 $c$ 가 $(a,b)$ 에 있습니다.

뜻: 구간의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 반드시 있습니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=3x^3+2x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=3{x}^{3}+2x+1$ over $[-1,1]$

답 쓰고 채점

점

풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 $c$ 가 있다는 정리예요. 방정식 $f'(c)=\text{평균변화율}$ 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$ , $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.
2
도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$
3
구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

$2$ 개 ( $c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ )

자주 하는 실수

평균값 정리의 $c$ 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$ 에서 $y=\tan (\pi x)$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\pm 0.1533$

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

다 풀었으면 정답 확인

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

4.OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=|{x}^{2}+2x-4|$ over $[-4,0]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰기 전에 연속·미분가능 조건부터 확인해요. 절댓값이 있으면 안쪽 식이 0이 되는 곳에서 그래프가 꺾일 수 있어요.

1
안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$ , 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.
2
그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.
3
결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.
4
참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$ , $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

답

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자주 하는 실수

결론이 우연히 성립해도 평균값 정리가 적용된다고 말하면 안 돼요. 조건을 만족하는지가 핵심이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=3x^3+2x+1$

답 쓰고 채점

점

다 풀었으면 정답 확인

$2$ 개 ( $c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ )

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인도전

Isaac 실험으로 확인

강의 예제를 가상 실험실(NVIDIA Isaac Sim 물리 시뮬레이션)에서 돌려, 미적분으로 계산한 값과 실험에서 잰 값을 나란히 놓았어요.

구간 단속 — 평균 속도와 같은 순간 속도

강의 예제 — $f(x)=3x^3+2x+1$ , 구간 $[-1,1]$ 에서 평균변화율은 $5$ , $f'(c)=5$ 를 만족하는 $c=\pm\tfrac{1}{\sqrt3}$

실험 화면은 4배 느리게 보여 줘요 · 점선 = 미적분으로 계산한 자리

무엇	미적분으로 계산	Isaac 에서 잰 값	차이	허용
평균 속도 (구간 단속)	$5$ 칸/s	4.996 칸/s	-0.08%	±1.0%
순간 속도 = 평균 속도 (첫째, τ)	$-\tfrac{1}{\sqrt3}\approx -0.577$ s	-0.5781 s	-0.0007855 s	±0.01 s
순간 속도 = 평균 속도 (둘째, τ)	$\tfrac{1}{\sqrt3}\approx 0.577$ s	0.5762 s	-0.00112 s	±0.01 s
같아진 순간의 개수	$2$ 개	2 개	0 개	±0 개

평균 속도 (구간 단속)
계산
$5$ 칸/s
잰 값
4.996 칸/s
차이 -0.08% · 허용 ±1.0%
순간 속도 = 평균 속도 (첫째, τ)
계산
$-\tfrac{1}{\sqrt3}\approx -0.577$ s
잰 값
-0.5781 s
차이 -0.0007855 s · 허용 ±0.01 s
순간 속도 = 평균 속도 (둘째, τ)
계산
$\tfrac{1}{\sqrt3}\approx 0.577$ s
잰 값
0.5762 s
차이 -0.00112 s · 허용 ±0.01 s
같아진 순간의 개수
계산
$2$ 개
잰 값
2 개
차이 0 개 · 허용 ±0 개

무엇이 독립인가 · 같은 입력: 미는 힘(f″ 로 만듦)·처음 위치·처음 속도 · 독립: 움직임은 PhysX, 평균 속도는 몸체 좌표 두 점, 순간 속도는 바퀴 속도계 — c 를 식에서 풀지 않고 「같아지는 순간」을 잼

실제 미터로 하면 10 m 길을 최고 11 m/s 로 달려 화면에서 수레가 점처럼 보여요. 그래서 1칸 = 10 cm 로 줄여 실험했습니다. 수레의 위치(m)는 f 값(칸) × 0.1 이에요.

Isaac Sim 6.0.1-rc.7 · 물리 480 Hz · 실행 20261024-203301-edulab_c1_09

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