미적분Ⅰ · 미분 · 6강

미분계수

Name: 미적분Ⅰ 6강 미분계수
Uploaded: 2026-10-24T12:43:32.494Z
Duration: 5 min 31 s
Description: 순간변화율과 접선의 기울기

순간변화율과 접선의 기울기

5:31 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1절 연습문제 13·25 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그려 넣었으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$f'(a)$ 는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$ 에서의 접선의 기울기입니다.

미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아닙니다. (예: $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않음)

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-\dfrac{3}{4}$

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# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)={x}^{2}+x,a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 $(a,f(a))$ 와 그 기울기로 직선을 세워요.

1
(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.
2
차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$
3
극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.
4
(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$ , 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

답

(a) $3$ (b) $y=3x-1$

자주 하는 실수

$h$ 로 나누기 전에 $h\to0$ 을 먼저 넣어 $0/0$ 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 $h$ 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $3$ b. $y=3x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-3$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 평균변화율과 미분계수계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\sqrt{x},a=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\sqrt{x}-2$ 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 $\sqrt{x}+2$ 를 곱해서 $x-4$ 를 만들면 약분돼요.

1
식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$
3
약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

답

$\dfrac14$

자주 하는 실수

$\sqrt{x}-2$ 를 $\sqrt{x-4}$ 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $3$ (b) $y=3x-1$

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# 평균변화율과 미분계수계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac14$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 평균변화율과 미분계수활용보통

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