무한대에서의 극한

분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.

분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$$

수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.

수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.

결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.

실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.

점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

대칭부터 확인해요. $f(-x)=(-x)\tan(-x)=x\tan x=f(x)$ 이므로 $y$축에 대하여 대칭이에요. $0\le x\le\pi$ 만 살피고 나머지는 대칭으로 그리면 돼요.

점근선을 찾아요. $\tan x$ 가 정의되지 않는 곳은 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ 이고, 거기서 $x\ne0$ 이라 $|f(x)|\to\infty$ 가 되어 수직점근선이에요. 부호는 $\dfrac{\pi}{2}$ 왼쪽에서 $x\tan x\to+\infty$, 오른쪽에서 $\to-\infty$ 예요.

중요한 점의 값을 구해요. $f(0)=0$, $f(\pm\pi)=\pi\cdot 0=0$ 이에요. $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x>0$, $\tan x>0$ 이라 $f>0$, $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $\tan x<0$ 이라 $f<0$ 이에요.

증가·감소를 살펴요. $f'(x)=\tan x+x\sec^2x=\dfrac{\sin x\cos x+x}{\cos^2x}$ 이에요. 분자 $g(x)=x+\dfrac{\sin 2x}{2}$ 는 $g'(x)=1+\cos 2x\ge0$ 이라 늘어나기만 하고 $g(0)=0$ 이므로 $x>0$ 에서 $g>0$ 이에요. 따라서 $0<x<\pi$ 에서 $f'>0$ 으로 증가해요. 극값은 $x=0$ 에서의 극솟값 $0$ 뿐이에요.

오목·볼록을 살펴요. $f''(x)=2\sec^2x\,(1+x\tan x)$ 이므로 부호는 $1+x\tan x$ 가 정해요. $0\le x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x\tan x\ge0$ 이라 아래로 볼록해요. $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $x\tan x=-1$ 이 되는 $x\approx2.8$ 에서 부호가 바뀌어 위로 볼록했다가 아래로 볼록해지는 변곡점이 생겨요.

그래프를 정리해요. $0$ 에서 시작해 $\dfrac{\pi}{2}$ 쪽으로 $+\infty$ 로 올라가고, 점근선 오른쪽에서는 $-\infty$ 에서 올라와 $x=\pi$ 에서 $0$ 이 돼요. 왼쪽 절반은 $y$축 대칭으로 그려요.