정적분과 넓이

그림에서 직선 모양의 $y=|x|$가 위에, 포물선 $y=x^2$이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 $|x|=x^2$에서 $x=-1,\,0,\,1$이에요.

두 그래프는 $y$축에 대해 대칭이므로 $0\le x\le1$ 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 $|x|=x$이므로 (위)−(아래)는 $x-x^2$이에요.

$$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$$

두 배 하면 $2\cdot\frac16=\frac13$이에요.

$e^x>0$이므로 $xe^x\le e^x$인지는 $x\le1$인지로 정해져요. $0\le x\le1$에서 $x\le1$이므로 $y=e^x$가 위, $y=xe^x$가 아래예요. 그림에서도 $x=1$에서 두 곡선이 만나요.

넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$이에요.

$\int_0^1xe^x\,dx$는 부분적분으로 구해요. $u=x$, $v'=e^x$로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$이에요.

따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$예요.

먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $$y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.

영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$, 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.

적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $$A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$$

원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $$\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.

교점을 구해요. $y^2-2=2y$ 에서 $y^2-2y-2=0$ 이므로 $y=1\pm\sqrt3$ 이에요. 이때 $x=2y$ 이니까 교점의 $x$좌표는 $2\pm2\sqrt3$ 이에요.

$y$에 대해 적분해요. 두 식이 모두 $x=\cdots$ 꼴이라 $y$를 변수로 보면 한 번에 계산돼요. $y=0$ 에서 직선은 $x=0$, 포물선은 $x=-2$ 이므로 직선이 오른쪽이에요. $$A=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\left(2y-(y^2-2)\right)dy=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(-y^2+2y+2)\,dy$$

계산을 쉽게 하려고 $t=y-1$ 로 바꿔요. $-y^2+2y+2=3-(y-1)^2=3-t^2$ 이고 구간은 $-\sqrt3\le t\le\sqrt3$ 이에요. $$A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-t^2)\,dt=2\left[3t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=2\left(3\sqrt3-\sqrt3\right)=4\sqrt3$$

$x$에 대해 적분하면 어떨까요? 포물선은 $y=\pm\sqrt{x+2}$ 로 위·아래 두 줄기라서 구간을 둘로 나눠야 해요. $x_1=2-2\sqrt3$, $x_2=2+2\sqrt3$ 라 하면 $$A=\int_{-2}^{x_1}2\sqrt{x+2}\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{x}{2}\right)dx$$

$u=x+2$ 로 계산해요. $u_1=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$, $u_2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$ 이므로 $u_1^{3/2}=6\sqrt3-10$, $u_2^{3/2}=6\sqrt3+10$ 이에요. 그러면 $$A=\frac43(6\sqrt3-10)+\frac23\big[(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)\big]-\frac{x_2^2-x_1^2}{4}$$ 여기서 $\dfrac{x_2^2-x_1^2}{4}=\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot4}{4}=4\sqrt3$ 이므로 $$A=\left(8\sqrt3-\frac{40}{3}\right)+\frac{40}{3}-4\sqrt3=4\sqrt3$$ $y$로 적분한 값과 같고, $y$로 적분하는 쪽이 훨씬 쉬워요.