빌드라인 스쿨

미적분Ⅰ · 적분 · 14강

부정적분

미분의 거꾸로 — 원시함수와 적분상수

5:51 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 4.10절 연습문제 11·51 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)일 때 ∫f(x) dx=F(x)+C(C는 적분상수)\int f(x)\,dx=F(x)+C\quad(C\text{는 적분상수})

∫xn dx=1n+1xn+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\quad(n\ne-1)

∫kf(x) dx=k∫f(x) dx\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx, ∫{f(x)±g(x)} dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx\int\{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수 f(x)f(x)의 부정적분 F(x)F(x)의 일반형을 구하세요.

f(x)=(x)3f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{3}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the general form for the antiderivative F(x)F(x) of each function f(x).f(x).

f(x)=(x)3f(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^{3}

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

근호를 지수로 바꾸면 xnx^n 꼴이 되어 부정적분 공식을 바로 쓸 수 있어요.

  1. 1

    x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}이므로 (x)3=x3/2\left(\sqrt{x}\right)^3=x^{3/2}로 바꿔 써요.

  2. 2

    공식 ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n≠−1n\ne-1)에 n=32n=\frac32를 넣어요. n+1=52n+1=\frac52이므로 F(x)=x5/25/2+C=25x5/2+CF(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac25x^{5/2}+C

  3. 3

    x5/2=(x)5x^{5/2}=\left(\sqrt{x}\right)^5이므로 F(x)=25(x)5+CF(x)=\frac25\left(\sqrt{x}\right)^5+C라고 써도 같아요.

답

F(x)=25x5/2+CF(x)=\frac25x^{5/2}+C

자주 하는 실수

적분상수 CC를 빼먹거나, 분모에 52\frac52 대신 32\frac32를 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

F(x)=25(x)5+CF(x)=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x}\right)}^{5}+C

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 8번

다음 문제에서 부정적분을 구하세요.

∫1xdx\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

2x+C2\sqrt{x}+C

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# 부정적분의 뜻과 계산계산기본
2.OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 적분을 구하세요.

∫sin⁡x dx\int \sin x\,dx

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the integral.

∫sin⁡xdx\int \sin xdx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

미분하면 sin⁡x\sin x가 되는 함수를 떠올려요. cos⁡x\cos x를 미분하면 −sin⁡x-\sin x예요.

  1. 1

    부정적분은 미분하면 sin⁡x\sin x가 되는 함수예요. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x이므로 부호가 반대인 −cos⁡x-\cos x를 생각해요.

  2. 2

    확인해 봐요. (−cos⁡x)′=−(−sin⁡x)=sin⁡x(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x로 맞아요. 상수는 미분하면 00이므로 적분상수 CC를 붙여요. ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C

답

−cos⁡x+C-\cos x+C

자주 하는 실수

sin⁡x\sin x의 부정적분을 cos⁡x\cos x로 쓰는 부호 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

−cos⁡x+C-\cos x+C

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번

다음 문제에서 ∫ln⁡x dx=x(ln⁡x−1)+C\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C 임을 미분으로 확인한 다음, 알맞게 변수를 바꾸어 적분을 계산하세요.

∫x2ln(x2) dx\int {x}^{2}\text{ln(}{x}^{2})\,dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

29x3(ln⁡(x3)−1)+C\dfrac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C

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# 여러 가지 함수의 적분계산기본
3.OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 이계도함수 또는 삼계도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 ff를 두 가지 구하세요.

f′′(x)=e−xf''(x)=e^{-x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions ff given the second- or third-order derivatives.

f′′(x)=e−x{f}^{''}(x)={e}^{-x}

풀이 보기

f′′f''을 두 번 적분하면 ff가 되고, 적분할 때마다 상수가 생겨서 답이 여러 개예요.

  1. 1

    먼저 f′′(x)=e−xf''(x)=e^{-x}를 한 번 적분해 f′f'을 구해요. (e−x)′=−e−x(e^{-x})'=-e^{-x}이므로 ∫e−xdx=−e−x\int e^{-x}dx=-e^{-x}예요. 따라서 f′(x)=−e−x+C1f'(x)=-e^{-x}+C_1이에요.

  2. 2

    한 번 더 적분해요. ∫(−e−x)dx=e−x\int(-e^{-x})dx=e^{-x}이므로 f(x)=e−x+C1x+C2f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2예요.

  3. 3

    C1C_1, C2C_2는 아무 상수나 될 수 있어요. C1=C2=0C_1=C_2=0으로 놓으면 f(x)=e−xf(x)=e^{-x}이고, C1=1C_1=1, C2=0C_2=0으로 놓으면 f(x)=e−x+xf(x)=e^{-x}+x예요. 둘 다 두 번 미분하면 e−xe^{-x}가 되는지 확인해 봐요.

답

예시 답: f(x)=e−xf(x)=e^{-x} 와 f(x)=e−x+xf(x)=e^{-x}+x

자주 하는 실수

적분상수를 하나(CC)만 붙여요. 두 번 적분하면 상수가 두 개 생겨요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one possible answer is f(x)=e−xf(x)={e}^{-x}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번

다음 문제에서 적분을 구하세요.

∫sin⁡x dx\int \sin x\,dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

−cos⁡x+C-\cos x+C

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# 여러 가지 함수의 적분계산보통
4.OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 F(0)=0F(0)=0이라 할 때 함수의 부정적분을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=1(x+1)2f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the antiderivative of the function, assuming F(0)=0.F(0)=0.

[T] f(x)=1(x+1)2f(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}

답 쓰고 채점
풀이 보기

일반형 F(x)=⋯+CF(x)=\cdots+C를 먼저 구하고, 주어진 조건 F(0)=0F(0)=0으로 CC를 정해요.

  1. 1

    f(x)=(x+1)−2f(x)=(x+1)^{-2}로 써요. x+1x+1을 한 덩어리로 보면 ∫(x+1)−2dx=(x+1)−1−1+C=−1x+1+C\int(x+1)^{-2}dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C예요. 미분해 보면 (−1x+1)′=1(x+1)2\left(-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}로 맞아요.

  2. 2

    이제 F(0)=0F(0)=0을 써요. F(0)=−10+1+C=−1+C=0F(0)=-\frac{1}{0+1}+C=-1+C=0이므로 C=1C=1이에요.

  3. 3

    따라서 F(x)=−1x+1+1F(x)=-\frac{1}{x+1}+1이에요.

답

F(x)=−1x+1+1F(x)=-\frac{1}{x+1}+1

자주 하는 실수

∫(x+1)−2dx\int (x+1)^{-2}dx에서 부호를 놓쳐 +1x+1+\frac{1}{x+1}로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

F(x)=−1(x+1)+1F(x)=-\frac{1}{(x+1)}+1

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 5.1절 · 2번우리말 번역

f(x)f(x) 의 "그" 부정적분이라고 말하는 것과 f(x)f(x) 의 "하나의" 부정적분이라고 말하는 것 중 어느 쪽이 더 정확한가요?

다 풀었으면 정답 확인

“an”

이 문제로 이어서 풀기
# 부정적분의 뜻과 계산계산보통

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