로피탈 정리 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.8절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-1}{x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 18번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 4.8절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 0}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 0}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.7절 · 6번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.8절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{1-\cos (\pi x)}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{1-\cos (\pi x)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 2번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.8절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 1}\frac{{e}^{(x-1)}-1}{x-1}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 1}\frac{{e}^{(x-1)}-1}{x-1}$

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$1$

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$1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 48번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.8절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 1}\frac{{(x-1)}^{2}}{\ln x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 1}\frac{{(x-1)}^{2}}{\ln x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.7절 · 4번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.8절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to \pi }\frac{1+\cos x}{\sin x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to \pi }\frac{1+\cos x}{\sin x}$

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$0$

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$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.7절 · 1번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.8절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 0}\left(\csc x-\frac{1}{x}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 0}\left(\csc x-\frac{1}{x}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 14번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.8절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to {0}^{+}}\tan ({x}^{x})$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to {0}^{+}}\tan ({x}^{x})$

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정답·풀이 보기

$\tan (1)$

원본 교재 풀이(영어)

$\tan (1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 18번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.8절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\ln x}{\sin x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\ln x}{\sin x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 10번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.8절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

[T] $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2$

원본 교재 풀이(영어)

$2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 32번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

11.Active Calculus · 3.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

$f$ 와 $g$ 를 미분가능한 함수라 하고, 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(3) = g(3) = 0$ , $f'(3) = g'(3) = 0$ , $f''(3) = -2$ , $g''(3) = 1$ . 새로운 함수 $h$ 를 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ 로 정의하자. 같은 좌표축 위에 $x = 3$ 근처에서 $f$ 와 $g$ 의 가능한 그래프를 그리고, 주어진 정보를 이용하여 다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x \to 3} h(x)\,.$

결론을 뒷받침하는 설명을 쓰세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions about which the following information is known: $f(3) = g(3) = 0$ , $f'(3) = g'(3) = 0$ , $f''(3) = -2$ , and $g''(3) = 1$ . Let a new function $h$ be given by the rule $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ . On the same set of axes, sketch possible graphs of $f$ and $g$ near $x = 3$ , and use the provided information to determine the value of

$\lim_{x \to 3} h(x)\,.$

Provide explanation to support your conclusion.

정답·풀이 보기

$f$ 와 $g$ 의 가능한 그래프는 아래 그림과 같다. 극한을 구하기 위해 로피탈의 정리를 두 번 적용할 수 있다. $f(3) = g(3) = 0$ 이므로 로피탈의 정리에 의해

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,.$ 이다. $f'(3) = g'(3) = 0$ 이므로 이 극한도 여전히 부정형이고, 정리를 다시 적용하면

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{f''(3)}{g''(3)} = \frac{-2}{1}\,.$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to 3} h(x) = -2$ 이다.

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원본 교재 풀이(영어)

See the figure below for possible graphs of $f$ and $g$ . To evaluate the limit, we can apply L'Hôpital's Rule twice. Since $f(3) = g(3) = 0$ , we know by the rule that

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,.$ Since $f'(3) = g'(3) = 0$ , the limit is still indeterminate, and we can apply the rule again to get

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{f''(3)}{g''(3)} = \frac{-2}{1}\,.$ Hence, $\lim_{x \to 3} h(x) = -2$ .

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.8절 · 50번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류

12.Active Calculus · 3.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 수직 점근선과 수평 점근선을 모두 구하세요.

$R(x) = \frac{3(x-a)(x-b)}{5(x-a)(x-c)}\,,$ 여기서 $a$ , $b$ , $c$ 는 서로 다른 임의의 상수이다. 또한 $R$ 가 연속이 아닌 $x$ 의 값을 모두 쓰세요. $a$ , $b$ , $c$ 의 값을 분명히 표시하여 $R$ 의 그래프의 가능한 모양을 그리세요.

영어 원문 보기

Find all vertical and horizontal asymptotes of the function

$R(x) = \frac{3(x-a)(x-b)}{5(x-a)(x-c)}\,,$ where $a$ , $b$ , and $c$ are distinct, arbitrary constants. In addition, state all values of $x$ for which $R$ is not continuous. Sketch a possible graph of $R$ , clearly labeling the values of $a$ , $b$ , and $c$ .

정답·풀이 보기

먼저, $R$ 의 분자와 분모가 모두 이차식이므로 $x \to \infty$ 일 때의 극한은 최고차항의 계수의 비로 구할 수 있다. 즉,

$\lim_{x \to \infty} R(x) = \frac{3}{5}$

이므로 $R$ 의 수평 점근선은 $y = \frac{3}{5}$ 이다.

다음으로, $b$ 와 $c$ 가 서로 다르므로 $x = b$ 일 때 $R$ 의 분자는 0이고 (분모는 0이 아니고), 따라서 $R(b) = 0$ 이다. 또한 $x = c$ 일 때 분모는 0이고 (분자는 0이 아니고), 이로 인해 $x = c$ 에 수직 점근선이 생긴다.

마지막으로, $x = a$ 는 분자와 분모를 모두 0으로 만든다. 따라서 $R(a)$ 는 정의되지 않으므로 $R$ 의 그래프는 $x = a$ 에서 구멍이 있거나 수직 점근선을 가진다. 어느 쪽인지 판단하기 위해 극한을 계산하면

$\lim_{x \to a} \frac{3(x-a)(x-b)}{5(x-a)(x-c)} = \lim_{x \to a} \frac{3(x-b)}{5(x-c)} = \frac{3(a-b)}{5(a-c)}\,.$ 이는 $R$ 가 점 $(a, \frac{3(a-b)}{5(a-c)})$ 에 구멍을 가짐을 나타낸다. 게다가 $R$ 는 $x = a$ 와 $x = c$ 에서 연속이 아니다.

$R$ 의 그래프의 가능한 모양은 다음 그림과 같다.

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원본 교재 풀이(영어)

First, we note that since both the numerator and denominator of $R$ are quadratic, the limit as $x \to \infty$ can be found by taking the quotient of the leading coefficients. In particular,

$\lim_{x \to \infty} R(x) = \frac{3}{5}$

and thus the horizontal asymptote of $R$ is $y = \frac{3}{5}$ .

Next, since $b$ and $c$ are distinct, we see that the numerator of $R$ is zero (and the denominator is not) when $x = b$ , and thus $R(b) = 0$ . In addition, the denominator is zero (and the numerator is not) when $x = c$ , and this results in there being a vertical asymptote at $x = c$ .

Finally, we observe that $x = a$ makes both the numerator and denominator zero. Since $R(a)$ is thus not defined, the graph of $R$ has either a hole or a vertical asymptote at $x = a$ . To determine which, we evaluate the limit and see that

$\lim_{x \to a} \frac{3(x-a)(x-b)}{5(x-a)(x-c)} = \lim_{x \to a} \frac{3(x-b)}{5(x-c)} = \frac{3(a-b)}{5(a-c)}\,.$ This tells us that $R$ has a hole at the point $(a, \frac{3(a-b)}{5(a-c)})$ . Moreover, $R$ is not continuous at $x = a$ and $x = c$ .

A possible graph of $R$ is shown in the following figure.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.2절 · 11번

# 로피탈 정리그래프·표 해석자동 분류