문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

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풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

64문제 · 4 / 4쪽

61.CLP-1 · 2.4절 · 2번우리말 번역

참 또는 거짓: $f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g'(x)$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g'(x)$ when $f$ and $g$ are differentiable functions.

정답·풀이 보기

일반적으로 거짓이다. 곱의 미분법에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 이다. 반대로 할 수 없는 이유를 보여 주는 간단한 예로 $f(x)=g(x)=x$ 를 생각하자. 그러면 이 등식은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^2\}=(1)(1)$ 이 되는데, 이는 거짓이다.

원본 교재 풀이(영어)

False, in general. The product rule tells us $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ . An easy example of why we can't do it the other way is to take $f(x)=g(x)=x$ . Then the equation becomes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^2\}=(1)(1)$ , which is false.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 3번

# 다항함수의 미분법개념 확인기본자동 분류

62.CLP-1 · 2.4절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓: $f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ when $f$ and $g$ are differentiable functions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 몫의 미분법에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{g(x)f'(x)}{g^2(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$

원본 교재 풀이(영어)

True: the quotient rule tells us $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{g(x)f'(x)}{g^2(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 1번

# 다항함수의 미분법개념 확인기본자동 분류

63.CLP-1 · 3.1절 · 1번우리말 번역

공을 똑바로 위로 던졌고, $t=0$ 부터 $t=4$ 까지 공의 높이가 $h(t)=-4.9t^2+19.6t$ 로 주어진다고 하자. 참인지 거짓인지 판단하세요: 시각 $t=2$ 에서 공의 가속도는 0이다.

영어 원문 보기

Suppose you throw a ball straight up in the air, and its height from $t=0$ to $t=4$ is given by $h(t)=-4.9t^2+19.6t$ . True or false: at time $t=2$ , the acceleration of the ball is 0.

정답·풀이 보기

거짓이다. 공의 가속도는 $h''(t)=-9.8$ 이다. 이는 공이 움직이는 내내 상수이다(중력 때문이다).

참고: $t=2$ 에서 공의 속도는 $h'(2)=-9.8(2)+19.6=0$ 이므로 0이지만, 속도가 0인 것은 한 순간뿐이다. 속도가 변하고 있으므로 가속도는 0이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The acceleration of the ball is given by $h''(t)=-9.8$ . This is constant throughout its trajectory (and is due to gravity).

Remark: the velocity of the ball at $t=2$ is zero, since $h'(2)=-9.8(2)+19.6=0$ , but the velocity is only zero for an instant. Since the velocity is changing, the acceleration is nonzero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 15번

# 속도와 가속도개념 확인기본자동 분류

64.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 다음과 같이 주어졌다고 하자. $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ 여기서 $g(x)$ 도 함수이다. 참 또는 거짓: $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function given by $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ where $g(x)$ is also a function. True or false: $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ .

정답·풀이 보기

일반적으로 이것은 거짓이다. 예를 들어 함수 $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ 은 정의역의 모든 점에서 1 과 같으므로(그리고 $x=\pm3$ 일 때는 정의되지 않으므로) 수직 점근선이 없다.

그러나 $f(x)$ 가 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는 것은 분명히 가능하다. 예를 들어 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ 은 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다. 더 일반적으로, $g(x)$ 가 연속이고 $g(-3)\ne 0$ 이면 $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. For example, the function $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ has no vertical asymptotes, because it is equal to 1 in every point in its domain (and is undefined when $x=\pm3$ ).

However, it is certainly possible that $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . For example, $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . More generally, if $g(x)$ is continuous and $g(-3)\ne 0$ , then $f(x)$ has a vertical asympotote at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인기본자동 분류