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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

미분 전체 문제

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186문제 · 1 / 10쪽

1.OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용해 도함수 f′(x)f'(x) 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to sketch the graph of its derivative f′(x).{f}^{'}(x).

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

ff 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 f′(x)f'(x) 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

  1. 1

    기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 x=0x=0 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, x=3x=3 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 f′(0)=0f'(0)=0, f′(3)=0f'(3)=0 이에요. 즉 f′f' 의 그래프는 x=0x=0 과 x=3x=3 에서 xx 축과 만나요.

  2. 2

    부호를 구간별로 살펴요. x<3x<3 에서는 (평평한 x=0x=0 을 제외하고) ff 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 f′(x)<0f'(x)<0 이에요. x=0x=0 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 xx 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. x>3x>3 에서는 ff 가 올라가므로 f′(x)>0f'(x)>0 이에요.

  3. 3

    크기를 어림해요. 왼쪽 끝 x=−1.5x=-1.5 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 f′f' 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 x=0x=0 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 x=2x=2 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 f′f' 는 여기서 가장 작은 값(약 −16-16)을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 x=3x=3 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.

  4. 4

    그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 f′f' 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 x=0x=0 에서 xx 축에 닿고, x=2x=2 근처에서 최저가 되었다가 x=3x=3 에서 xx 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

f′f' 의 그래프는 x=0x=0 에서 xx 축에 닿고(접하고), x=2x=2 근처에서 최솟값 약 −16-16, x=3x=3 에서 xx 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

ff 의 값이 큰 곳에서 f′f' 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. f′f' 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석보통
2.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 f(x)f(x) 의 그래프를 그리세요. 도함수 f′(x)f'(x) 를 구한 뒤 계산기로 f′(x)f'(x) 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] f(x)=x3+1f(x)=x^3+1

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),{f}^{'}(x), then use a calculator to graph f′(x).{f}^{'}(x).

[T] f(x)=x3+1f(x)={x}^{3}+1

풀이 보기

xnx^n 의 도함수는 nxn−1nx^{n-1} 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

  1. 1

    도함수를 구해요. x3x^3 은 3x23x^2 으로 미분되고, 상수 11 은 미분하면 00 이에요. 따라서 f′(x)=3x2+0=3x2f'(x)=3x^2+0=3x^2

  2. 2

    ff 의 그래프를 생각해요. y=x3+1y=x^3+1 은 y=x3y=x^3 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 f′f' 가 x3x^3 의 도함수와 같은 것과 맞아요.

  3. 3

    f′f' 의 그래프를 생각해요. y=3x2y=3x^2 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. y=x2y=x^2 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 f′(0)=0f'(0)=0 이어서 ff 는 x=0x=0 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), f′≥0f'\ge 0 이므로 ff 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 f′f' 이고 실선이 ff 예요.

답

f′(x)=3x2f'(x)=3x^2 (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 11 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=3x2{f}^{'}(x)=3{x}^{2}

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본
3.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 T(x)T(x) 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}, 점 (1,−1)(1,-1)

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}} at (1,−1)(1,-1)

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

  1. 1

    분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

    y=2x−1−3x−2y=2x^{-1}-3x^{-2}

  2. 2

    (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 로 미분해요.

    y′=−2x−2+6x−3=−2x2+6x3y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}

  3. 3

    x=1x=1 에서의 기울기는 y′(1)=−2+6=4y'(1)=-2+6=4 예요.

  4. 4

    점 (1,−1)(1,-1) 을 지나고 기울기가 44 인 직선이에요.

    T(x)=4(x−1)−1=4x−5T(x)=4(x-1)-1=4x-5

    그래프에서도 곡선이 (1,−1)(1,-1) 에서 직선 T(x)T(x) 에 닿고, 이 직선이 yy 절편 −5-5 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 y(1)=−1y(1)=-1 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번
# 접선의 방정식그래프·표 해석기본
4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 34번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 가 주어졌을 때,

a. 표에 주어진 xx 의 값에 대해, 각 점 Q(x,f(x))Q(x,f(x)) 에 대한 할선 PQPQ 의 기울기를 구하세요. b. a의 답을 이용하여 점 PP 에서의 접선의 기울기의 값을 어림하세요. c. b의 답을 이용하여 점 PP 에서 ff 에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=tan⁡(x),P(π,0)f(x)=\tan (x),P(\pi ,0)

x 기울기 mPQ{m}_{PQ}
3.1 (ⅰ)
3.14 (ⅱ)
3.141 (ⅲ)
3.1415 (ⅳ)
3.14159 (ⅴ)
3.141592 (ⅵ)
영어 원문 보기

For the following exercises, given the function y=f(x),y=f(x),

a. find the slope of the secant line PQPQ for each point Q(x,f(x))Q(x,f(x)) with xx value given in the table. b. Use the answers from a. to estimate the value of the slope of the tangent line at P.P. c. Use the answer from b. to find an equation of the tangent line to ff at point P.P.

[T] f(x)=tan⁡(x),P(π,0)f(x)=\tan (x),P(\pi ,0)

x Slope mPQ{m}_{PQ}
3.1 (i)
3.14 (ii)
3.141 (iii)
3.1415 (iv)
3.14159 (v)
3.141592 (vi)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.5절 · 9번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 39번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 y=s(t)y=s(t) 에 대해, 물체가 일직선 위를 움직이고 있다. 여기서 tt 는 초 단위이고 ss 는 미터 단위이다. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균 속도를 간단히 한 식 b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균 속도. 단, (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, (iv) h=0.0001\text{(iv)}\,h=0.0001 이다. c. a의 답을 이용하여 t=2t=2 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

다음 그래프를 이용하여 a. f′(1){f}^{'}(1) 과 b. f′(6){f}^{'}(6) 의 값을 구하세요.

이 그래프는 이어진 두 선분을 보여 준다. 한 선분은 (1, 0)에서 (4, 6)까지이고, 다른 선분은 (4, 6)에서 (8, 8)까지이다.

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

Use the following graph to evaluate a. f′(1){f}^{'}(1) and b. f′(6).{f}^{'}(6).

This graph shows two connected line segments: one going from (1, 0) to (4, 6) and the other going from (4, 6) to (8, 8).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

a. 1.25;1.25; b. 0.50.5

원본 교재 풀이(영어)

a. 1.25;1.25; b. 0.50.5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 15번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 y=s(t)y=s(t) 에 대해, 물체가 일직선 위를 움직이고 있다. 여기서 tt 는 초 단위이고 ss 는 미터 단위이다. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균 속도를 간단히 한 식 b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균 속도. 단, (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, (iv) h=0.0001\text{(iv)}\,h=0.0001 이다. c. a의 답을 이용하여 t=2t=2 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

다음 그래프를 이용하여 a. f′(−3){f}^{'}(-3) 과 b. f′(1.5){f}^{'}(1.5) 의 값을 구하세요.

이 그래프는 이어진 두 선분을 보여 준다. 한 선분은 (−4, 3)에서 (1, 3)까지이고, 다른 선분은 (1, 3)에서 (1.5, 4)까지이다.

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

Use the following graph to evaluate a. f′(−3){f}^{'}(-3) and b. f′(1.5).{f}^{'}(1.5).

This graph shows two connected line segments: one going from (−4, 3) to (1, 3) and the other going from (1, 3) to (1.5, 4).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.1절 · 47번우리말 번역

두 차량이 직선 도로를 따라 나란히 출발한다. 두 차량의 위치 함수는 다음 그래프와 같으며 s=f(t)s=f(t) 와 s=g(t)s=g(t) 로 주어진다. 여기서 ss 는 피트 단위로, tt 는 초 단위로 측정한다.

두 함수 s = g(t) 와 s = f(t) 의 그래프가 그려져 있다. 첫 번째 함수 s = g(t) 는 (0, 0) 에서 시작하여 대략 (2, 1) 을 지나 (4, 4) 까지 위로 휘며 올라가는 곡선이다. 두 번째 함수 s = f(t) 는 (0, 0) 과 (4, 4) 를 지나는 직선이다.

a. t=2t=2 초일 때 어느 차량이 더 멀리 이동했습니까? b. t=3t=3 초일 때 각 차량의 대략적인 속도는 얼마입니까? c. t=4t=4 초일 때 어느 차량이 더 빠르게 달리고 있습니까? d. t=4t=4 초일 때 두 차량의 위치에 대해 참인 것은 무엇입니까?

영어 원문 보기

Two vehicles start out traveling side by side along a straight road. Their position functions, shown in the following graph, are given by s=f(t)s=f(t) and s=g(t),s=g(t), where ss is measured in feet and tt is measured in seconds.

Two functions s = g(t) and s = f(t) are graphed. The first function s = g(t) starts at (0, 0) and arcs upward through roughly (2, 1) to (4, 4). The second function s = f(t) is a straight line passing through (0, 0) and (4, 4).

a. Which vehicle has traveled farther at t=2t=2 seconds? b. What is the approximate velocity of each vehicle at t=3t=3 seconds? c. Which vehicle is traveling faster at t=4t=4 seconds? d. What is true about the positions of the vehicles at t=4t=4 seconds?

정답·풀이 보기

a. f(t)f(t) 로 나타낸 차량이다. 이 차량은 22 피트를 이동한 반면 g(t)g(t) 는 11 피트를 이동했기 때문이다. b. f(t)f(t) 의 속도는 11 ft/s 로 일정하고, g(t)g(t) 의 속도는 약 22 ft/s 이다. c. g(t)g(t) 로 나타낸 차량이며, 속도는 약 44 ft/s 이다. d. 두 차량 모두 4초 동안 44 피트를 이동했다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The vehicle represented by f(t),f(t), because it has traveled 22 feet, whereas g(t)g(t) has traveled 11 foot. b. The velocity of f(t)f(t) is constant at 11 ft/s, while the velocity of g(t)g(t) is approximately 22 ft/s. c. The vehicle represented by g(t),g(t), with a velocity of approximately 44 ft/s. d. Both have traveled 44 feet in 44 seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 39번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.1절 · 49번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 f(x)=x3−2x2−11x+12f(x)={x}^{3}-2{x}^{2}-11x+12 에 대해 다음을 하세요.

a. 그래프 계산기를 사용하여 적당한 보기 창에서 f 의 그래프를 그리세요. b. 계산기의 확대 기능을 사용하여 mtan⁡=f′(a)=0{m}_{\tan }={f}^{'}(a)=0 을 만족시키는 두 값 x=ax=a 를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] For the function f(x)=x3−2x2−11x+12,f(x)={x}^{3}-2{x}^{2}-11x+12, do the following.

a. Use a graphing calculator to graph f in an appropriate viewing window. b. Use the ZOOM feature on the calculator to approximate the two values of x=ax=a for which mtan⁡=f′(a)=0.{m}_{\tan }={f}^{'}(a)=0.

정답·풀이 보기

a.

함수는 제3사분면에서 시작하여 x축과 x = −3 에서 만나고, 증가하여 y = 20 근처에서 극댓값을 갖고, 감소하여 x = 1 에서 x축과 만나며, 계속 감소하여 y = −13 근처에서 극솟값을 갖고, 다시 증가하여 x = 4 에서 x축과 만난 뒤 계속 증가한다.

b. a≈−1.361,2.694a\approx -1.361,2.694

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function starts in the third quadrant, passes through the x axis at x = −3, increases to a maximum around y = 20, decreases and passes through the x axis at x = 1, continues decreasing to a minimum around y = −13, and then increases through the x axis at x = 4, after which it continues increasing.

b. a≈−1.361,2.694a\approx -1.361,2.694

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 19번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.1절 · 50번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2}} 에 대해 다음을 하세요.

a. 그래프 계산기를 사용하여 적절한 보기 창에서 ff 의 그래프를 그리세요. b. 계산기의 확대 기능을 사용하여 mtan⁡=f′(a)=0{m}_{\tan }={f}^{'}(a)=0 을 만족시키는 x=ax=a 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] For the function f(x)=x1+x2,f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2}}, do the following.

a. Use a graphing calculator to graph ff in an appropriate viewing window. b. Use the ZOOM feature on the calculator to approximate the values of x=ax=a for which mtan⁡=f′(a)=0.{m}_{\tan }={f}^{'}(a)=0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.1절 · 52번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 f(x)=x4−5x2+4f(x)={x}^{4}-5{x}^{2}+4 에 대하여 다음을 하세요.

a. 그래프 계산기를 사용하여 적절한 보기 창에서 ff 의 그래프를 그리세요. b. 그래프 계산기에서 미분계수를 수치적으로 구해 주는 nDeriv\text{nDeriv} 함수를 사용하여 f′(−2),f′(−0.5),f′(1.7){f}^{'}(-2),{f}^{'}(-0.5),{f}^{'}(1.7), 그리고 f′(2.718){f}^{'}(2.718) 을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] For the function f(x)=x4−5x2+4,f(x)={x}^{4}-5{x}^{2}+4, do the following.

a. Use a graphing calculator to graph ff in an appropriate viewing window. b. Use the nDeriv\text{nDeriv} function, which numerically finds the derivative, on a graphing calculator to estimate f′(−2),f′(−0.5),f′(1.7),{f}^{'}(-2),{f}^{'}(-0.5),{f}^{'}(1.7), and f′(2.718).{f}^{'}(2.718).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 4번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.1절 · 53번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 f(x)=x2x2+1f(x)=\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1} 에 대하여 다음을 하세요.

a. 그래프 계산기를 사용하여 적절한 화면 창에서 ff 의 그래프를 그리세요. b. 그래핑 계산기의 nDeriv\text{nDeriv} 함수를 사용하여 f′(−4),f′(−2),f′(2){f}^{'}(-4),{f}^{'}(-2),{f}^{'}(2) 와 f′(4){f}^{'}(4) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the function f(x)=x2x2+1,f(x)=\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}, do the following.

a. Use a graphing calculator to graph ff in an appropriate viewing window. b. Use the nDeriv\text{nDeriv} function on a graphing calculator to find f′(−4),f′(−2),f′(2),{f}^{'}(-4),{f}^{'}(-2),{f}^{'}(2), and f′(4).{f}^{'}(4).

정답·풀이 보기

a.

함수의 그래프는 제2사분면에서 시작하여 완만하게 감소하다가 원점에 닿은 뒤, 다시 완만하게 증가한다.

b. −0.028,−0.16,0.16,0.028-0.028,-0.16,0.16,0.028

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function starts in the second quadrant and gently decreases, touches the origin, and then it increases gently.

b. −0.028,−0.16,0.16,0.028-0.028,-0.16,0.16,0.028

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 35번
# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.2절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용하여 그 도함수 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2, 20)에서 시작하여 감소하면서 원점을 지나고, 대략 (0.5, −1)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 증가하여 (1, 0)을 지나고 (2.25, 2)에서 극댓값을 갖는다. 이어서 다시 감소하여 (3, 0)을 지나 (4, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to sketch the graph of its derivative f′(x).{f}^{'}(x).

The function f(x) starts at (−2, 20) and decreases to pass through the origin and achieve a local minimum at roughly (0.5, −1). Then, it increases and passes through (1, 0) and achieves a local maximum at (2.25, 2) before decreasing again through (3, 0) to (4, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 30번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.2절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용하여 그 도함수 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2.25, −20)에서 시작하여 빠르게 증가하면서 (−2, 0)을 지나고, (−1.4, 8)에서 극댓값을 갖는다. 그 후 함수는 감소하여 원점에 이른다. 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로, 원점에서 증가하여 (1.4, 8)에 이르고, 다시 감소하면서 (2, 0)을 지나 계속 내려가 (2.25, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to sketch the graph of its derivative f′(x).{f}^{'}(x).

The function f(x) starts at (−2.25, −20) and increases rapidly to pass through (−2, 0) before achieving a local maximum at (−1.4, 8). Then the function decreases to the origin. The graph is symmetric about the y-axis, so the graph increases to (1.4, 8) before decreasing through (2, 0) and heading on down to (2.25, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 11번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용하여 그 도함수 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−3, −1)에서 시작하여 증가하면서 (−1.5, 0)을 지나고, (1, 0)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 감소하면서 (1.5, 0)을 지나 계속 감소하여 (3, −1)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to sketch the graph of its derivative f′(x).{f}^{'}(x).

The function f(x) starts at (−3, −1) and increases to pass through (−1.5, 0) and achieve a local minimum at (1, 0). Then, it decreases and passes through (1.5, 0) and continues decreasing to (3, −1).

정답·풀이 보기

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 증가하다가 (−1.5, 1)에서 최댓값을 갖고, 감소하면서 원점을 지나 (1.5, −1)에서 최솟값을 가진 다음, 다시 증가하여 x = 3에서 x축에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts at (−3, 0), increases to a maximum at (−1.5, 1), decreases through the origin and to a minimum at (1.5, −1), and then increases to the x axis at x = 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.2절 · 25번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 존재하지만 ff 가 x=ax=a 에서 연속이 아닌 x=ax=a 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 x=ax=a 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 x=ax=a 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−6, 2)에서 시작하여 증가해 (−5.3, 4)에서 최댓값을 가진 뒤, (−4, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−4, −2)에서 다시 시작하여 (−2.25, 0)을 지나며 천천히 증가하고, (−1, 4)를 지나 (−0.1, 5.3)에서 극댓값을 가진 뒤 감소하여 (2, −1)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (2, 5)에서 다시 시작하여 (2.6, 6)까지 증가한 뒤 (4.5, −3)까지 감소하며, (4, 2)에서 불연속이 있다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of x=ax=a the lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) exists but ff is not continuous at x=a,x=a, and b. determine for which values of x=ax=a the function is continuous but not differentiable at x=a.x=a.

The function starts at (−6, 2) and increases to a maximum at (−5.3, 4) before stopping at (−4, 3) inclusive. Then it starts again at (−4, −2) before increasing slowly through (−2.25, 0), passing through (−1, 4), hitting a local maximum at (−0.1, 5.3) and decreasing to (2, −1) inclusive. Then it starts again at (2, 5), increases to (2.6, 6), and then decreases to (4.5, −3), with a discontinuity at (4, 2).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 2번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.2절 · 26번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 존재하지만 ff 가 x=ax=a 에서 연속이 아닌 x=ax=a 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 x=ax=a 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 x=ax=a 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−3, −1)에서 시작하여 증가해 극댓값을 가지는 (−1, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−1, 1)에서 다시 시작하여 빠르게 증가해 극댓값을 가지는 (0, 4)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (0, 3)에서 다시 시작하여 (1, 1)까지 직선으로 감소하는데, 이 점에서 불연속이 있고 x = 1 에서 이 함수의 값은 2이다. 함수는 (1, 1)에서 이어져 (2, 3.5)까지 직선으로 증가한 뒤 (3, 2)까지 직선으로 감소한다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of x=ax=a the lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) exists but ff is not continuous at x=a,x=a, and b. determine for which values of x=ax=a the function is continuous but not differentiable at x=a.x=a.

The function starts at (−3, −1) and increases to and stops at a local maximum at (−1, 3) inclusive. Then it starts again at (−1, 1) before increasing quickly to and stopping at a local maximum (0, 4) inclusive. Then it starts again at (0, 3) and decreases linearly to (1, 1), at which point there is a discontinuity and the value of this function at x = 1 is 2. The function continues from (1, 1) and increases linearly to (2, 3.5) before decreasing linearly to (3, 2).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

a. x=1,x=1, b. x=2x=2

원본 교재 풀이(영어)

a. x=1,x=1, b. x=2x=2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 16번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.2절 · 27번우리말 번역

주어진 f(x)f(x) 의 그래프를 이용하여 a. f′(−0.5),{f}^{'}(-0.5), b. f′(0),{f}^{'}(0), c. f′(1),{f}^{'}(1), d. f′(2),{f}^{'}(2), e. f′(3){f}^{'}(3) 이 존재하면 그 값을 구하세요.

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 (0, 3)에서 극댓값을 가질 때까지 직선으로 증가한다. 그다음 (2, 1)까지 직선으로 감소하고, 이 점에서부터 (4, 5)까지 직선으로 증가한다.

영어 원문 보기

Use the graph of f(x)f(x) shown to evaluate a. f′(−0.5),{f}^{'}(-0.5), b. f′(0),{f}^{'}(0), c. f′(1),{f}^{'}(1), d. f′(2),{f}^{'}(2), and e. f′(3),{f}^{'}(3), if it exists.

The function starts at (−3, 0) and increases linearly to a local maximum at (0, 3). Then it decreases linearly to (2, 1), at which point it increases linearly to (4, 5).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.4절 · 11번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.2절 · 31번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 f(x)f(x) 의 그래프를 그리세요. 함수 f′(x){f}^{'}(x) 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] f(x)=−5xf(x)=-\frac{5}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),{f}^{'}(x), then use a calculator to graph f′(x).{f}^{'}(x).

[T] f(x)=−5xf(x)=-\frac{5}{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 22번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.2절 · 32번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 f(x)f(x) 의 그래프를 그리세요. 함수 f′(x){f}^{'}(x) 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] f(x)=3x2+2x+4.f(x)=3{x}^{2}+2x+4.

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),{f}^{'}(x), then use a calculator to graph f′(x).{f}^{'}(x).

[T] f(x)=3x2+2x+4.f(x)=3{x}^{2}+2x+4.

정답·풀이 보기

f′(x)=6x+2{f}^{'}(x)=6x+2

함수 f(x)의 그래프는 y절편이 4이고 아래로 볼록한 포물선이다. 함수 f’(x)의 그래프는 y절편이 2이고 기울기가 6인 직선이다.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=6x+2{f}^{'}(x)=6x+2

The function f(x) is graphed as an upward facing parabola with y intercept 4. The function f’(x) is graphed as a straight line with y intercept 2 and slope 6.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 44번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 f(x)f(x) 의 그래프를 그리세요. 함수 f′(x){f}^{'}(x) 를 구한 다음, 계산기를 이용하여 f′(x){f}^{'}(x) 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] f(x)=x+3xf(x)=\sqrt{x}+3x

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),{f}^{'}(x), then use a calculator to graph f′(x).{f}^{'}(x).

[T] f(x)=x+3xf(x)=\sqrt{x}+3x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 50번
# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)