합성함수의 미분법 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.6절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 화물열차의 위치 함수가 $s(t)=100{(t+1)}^{-2}$ 로 주어진다. 여기서 $s$ 의 단위는 미터, $t$ 의 단위는 초이다. 시각 $t=6$ 초일 때, 열차의

a. 속도와 b. 가속도를 구하세요. c. a와 b의 결과를 이용하여 열차가 판단하세요.

영어 원문 보기

[T] The position function of a freight train is given by $s(t)=100{(t+1)}^{-2},$ with $s$ in meters and $t$ in seconds. At time $t=6$ s, find the train’s

a. velocity and b. acceleration. c. Using a. and b. is the train speeding up or slowing down?

정답·풀이 보기

a. $-\frac{200}{343}$ m/s, b. $\frac{600}{2401}$ m/s², c. 속도와 가속도의 부호가 반대이므로 열차는 느려지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $-\frac{200}{343}$ m/s, b. $\frac{600}{2401}$ m/s², c. The train is slowing down since velocity and acceleration have opposite signs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.6절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 수직 스프링에 매달린 물체가 다음 위치 함수로 주어지는 단조화 운동을 하고 있습니다. 여기서 $t$ 는 초 단위이고 $s$ 는 인치 단위입니다.

$s(t)=-3\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right).$

a. $t=1.5$ 초일 때 스프링의 위치를 구하세요. b. $t=1.5$ 초일 때 스프링의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A mass hanging from a vertical spring is in simple harmonic motion as given by the following position function, where $t$ is measured in seconds and $s$ is in inches:

$s(t)=-3\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right).$

a. Determine the position of the spring at $t=1.5$ s. b. Find the velocity of the spring at $t=1.5$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 10번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 씬 민트 걸스카우트 쿠키 $x$ 상자를 생산하는 데 드는 총비용은 $C$ 달러이고, $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300$ 입니다. $t$ 주 후의 생산량은 $x=1600+100t$ 상자로 추정됩니다.

a. 한계비용 ${C}^{'}(x)$ 을 구하세요. b. 연쇄 법칙의 라이프니츠 표기 $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$ 를 이용하여 시간 $t$ 에 대한 비용의 변화율을 구하세요. c. b를 이용하여 $t=2$ 주일 때 비용이 얼마나 빠르게 증가하는지 구하세요. 답에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

[T] The total cost to produce $x$ boxes of Thin Mint Girl Scout cookies is $C$ dollars, where $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300.$ In $t$ weeks production is estimated to be $x=1600+100t$ boxes.

a. Find the marginal cost ${C}^{'}(x).$ b. Use Leibniz’s notation for the chain rule, $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt},$ to find the rate with respect to time $t$ that the cost is changing. c. Use b. to determine how fast costs are increasing when $t=2$ weeks. Include units with the answer.

정답·풀이 보기

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. 주당 약 $90,300

원본 교재 풀이(영어)

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. Approximately $90,300 per week

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.5절 · 11번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.6절 · 43번우리말 번역

[계산기 사용] 원의 넓이를 구하는 공식은 $A=\pi {r}^{2}$ 이며, 여기서 $r$ 은 원의 반지름입니다. 원이 팽창하고 있어서 넓이 $A$ 와 반지름 $r$ (인치)이 모두 커지고 있다고 합시다.

a. $r=2-\frac{100}{{(t+7)}^{2}}$ 이라 하고, 여기서 $t$ 는 초 단위의 시간입니다. 연쇄 법칙 $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ 를 이용하여 넓이가 팽창하는 비율을 구하세요. b. a를 이용하여 $t=4$ 초일 때 넓이가 팽창하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The formula for the area of a circle is $A=\pi {r}^{2},$ where $r$ is the radius of the circle. Suppose a circle is expanding, meaning that both the area $A$ and the radius $r$ (in inches) are expanding.

a. Suppose $r=2-\frac{100}{{(t+7)}^{2}}$ where $t$ is time in seconds. Use the chain rule $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ to find the rate at which the area is expanding. b. Use a. to find the rate at which the area is expanding at $t=4$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 2번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.6절 · 44번우리말 번역

[계산기 사용] 구의 부피를 구하는 공식은 $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3}$ 이며, 여기서 $r$ (피트)은 구의 반지름입니다. 구 모양의 눈덩이가 햇볕에 녹고 있다고 합시다.

a. $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ 이라 하고, 여기서 $t$ 는 분 단위의 시간입니다. 연쇄 법칙 $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ 를 이용하여 눈덩이가 녹는 비율을 구하세요. b. a를 이용하여 $t=1$ 분일 때 부피가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The formula for the volume of a sphere is $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3},$ where $r$ (in feet) is the radius of the sphere. Suppose a spherical snowball is melting in the sun.

a. Suppose $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ where $t$ is time in minutes. Use the chain rule $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ to find the rate at which the snowball is melting. b. Use a. to find the rate at which the volume is changing at $t=1$ min.

정답·풀이 보기

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. 부피는 $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. The volume is decreasing at a rate of $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.5절 · 12번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.6절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 여름철 피닉스의 하루 기온(화씨)은 함수 $T(x)=94-10\cos \left[\frac{\pi }{12}(x-2)\right]$ 로 나타낼 수 있습니다. 여기서 $x$ 는 자정 이후 경과한 시간입니다. 오후 4시에 기온이 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The daily temperature in degrees Fahrenheit of Phoenix in the summer can be modeled by the function $T(x)=94-10\cos \left[\frac{\pi }{12}(x-2)\right],$ where $x$ is hours after midnight. Find the rate at which the temperature is changing at 4 p.m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 24번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.6절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 부두에서 물의 깊이(피트)는 조수의 밀물과 썰물에 따라 변한다. 깊이는 함수 $D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8$ 로 모델링되며, 여기서 $t$ 는 자정 이후 경과한 시간 수이다. 오전 6시에 깊이의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. The depth is modeled by the function $D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8,$ where $t$ is the number of hours after midnight. Find the rate at which the depth is changing at 6 a.m.

정답·풀이 보기

$\sim 2.3$ ft/hr

원본 교재 풀이(영어)

$\sim 2.3$ ft/hr

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 34번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

8.CLP-1 · 2.9절 · 16번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ 로 주어진다. 입자의 속도가 0이 되는 $t$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time $t$ is given by $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ . For which values of $t$ is the velocity of the particle zero?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 것이다. 따라서 입자의 속도는 $s'(t)$ 로 주어진다. $s'(t)$ 를 구한 다음 이것이 0이 되는 때를 찾아야 한다.

미분하기 위해 연쇄 법칙을 쓴다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{이 함수가 0이 되는 곳을 알아보기 위해 인수분해한다:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

따라서 속도가 0이 되는 경우는 $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ 일 때, $3t-2=0$ 일 때, 그리고 $t-4=0$ 일 때이다. $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ 은 절대로 0이 되지 않으므로, 속도가 0이 되는 것은 정확히 $t=\frac{2}{3}$ 또는 $t=4$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Velocity is the derivative of position with respect to time. So, the velocity of the particle is given by $s'(t)$ . We need to find $s'(t)$ , and determine when it is zero.

To differentiate, we us the chain rule.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{To determine where this function is zero, we factor:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

So, the velocity is zero when $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ , when $3t-2=0$ , and when $t-4=0$ . Since $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ is never zero, this tells us that the velocity is zero precisely when $t=\frac{2}{3}$ or $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 17번

# 합성함수의 미분법활용보통자동 분류

9.Active Calculus · 2.5절 · 14번우리말 번역

반지름이 4피트인 구 모양의 물탱크에 물이 $h$ 피트 높이로 들어 있을 때, 탱크 안에 있는 물의 부피는 다음 식으로 주어집니다.

$V = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\,.$

(a) $h = 1$ 인 순간에, 물의 부피는 물의 높이에 대해 어떤 순간변화율로 변하나요? 이 양의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) 이제 유입과 유출(예: 수도꼭지와 배수구)로 탱크 안 물의 높이가 조절되어, 시각 $t$ 에서 물의 높이가 $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 이라는 규칙으로 주어진다고 합시다. 여기서 $t$ 는 시간 단위로 재고( $h$ 는 여전히 피트 단위로 잽니다). $t = 2$ 인 순간에 물의 높이는 시간에 대해 어떤 비율로 변하는지 구하세요. (c) (b)의 가정을 이어서 사용할 때, $t = 2$ 인 순간에 탱크 안 물의 부피는 시간에 대해 어떤 순간변화율로 변하는지 구하세요. (d) (a)에서 구한 변화율과 (c)에서 구한 변화율의 주된 차이점은 무엇인지 설명하세요. 관련된 단위에 대한 논의를 포함하세요.

영어 원문 보기

If a spherical tank of radius 4 feet has $h$ feet of water present in the tank, then the volume of water in the tank is given by the formula

$V = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\,.$

(a) At what instantaneous rate is the volume of water in the tank changing with respect to the height of the water at the instant $h = 1$ ? What are the units on this quantity? (b) Now suppose that the height of water in the tank is being regulated by an inflow and outflow (e.g., a faucet and a drain) so that the height of the water at time $t$ is given by the rule $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ , where $t$ is measured in hours (and $h$ is still measured in feet). At what rate is the height of the water changing with respect to time at the instant $t = 2$ ? (c) Continuing under the assumptions in (b), at what instantaneous rate is the volume of water in the tank changing with respect to time at the instant $t = 2$ ? (d) What are the main differences between the rates found in (a) and (c)? Include a discussion of the relevant units.

정답·풀이 보기

(a) $h = 1$ 인 순간에 $\frac{dV}{dh}$ ( $V$ 를 독립변수 $h$ 에 대해 미분한 도함수)를 구하는 문제이다. 먼저 $V$ 를 전개하여 $V = \frac{\pi}{3}\left(12h^2 - h^3\right)$ 으로 쓰면 $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} \left(24h - 3h^2\right) = \pi \left(8h-h^2 \right)\,,$ 이고 단위는 “피트당 세제곱피트”이다. $h=1$ 에서의 값을 구하면 $\left. \frac{dV}{dh} \right|_{h=1} = \pi \left(8 \cdot 1 - 1^2 \right) = 7\pi$ 이다. (b) $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 이므로 $t$ 에 대한 $h$ 의 순간변화율은 $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ 이고, 따라서 $h'(2) = \pi \cos(2\pi) = \pi$ 시간당 피트이다. (c) 먼저 $V$ 를 독립변수 $t$ 에 대해 미분한 도함수 $\frac{dV}{dt}$ 를 구한다. 여기서 $V$ 를 $t$ 의 함수로 $V(t) = \frac{\pi}{3}\left(12(h(t))^2 - (h(t))^3\right)$ 과 같이 쓸 수 있고, $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 이다. 연쇄 법칙에 의해 $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left( 12 \cdot 2 h(t) \cdot h'(t) - 3 (h(t))^2 \cdot h'(t) \right)$ 이고, $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 과 $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ 를 이용하면 $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(\pi t) + 1) \cdot \pi \cos(\pi t) - 3 (\sin(\pi t) + 1)^2 \cdot \pi \cos(\pi t) \right]$ 이며 단위는 “시간당 피트”이다. 이제 $t=2$ 일 때의 $\frac{dV}{dt}$ 를 구한다. 위에서 구한 결과를 이용하면 $\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t=2} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(2\pi) + 1) \cdot \pi \cos(2\pi) - 3 (\sin(2\pi) + 1)^2 \cdot \pi \cos(2\pi) \right] = 7 \pi^2$ 시간당 세제곱피트이다. (d) (a)에서는 탱크 안 물의 높이를 증가시킬 때 부피가 변하는 순간변화율을 구하고, (c)에서는 시간이 증가할 때 부피가 변하는 순간변화율을 구한다. 첫 번째 계산은 직접적인 계산이고, 두 번째 계산은 $V$ 와 시간의 함수인 $h$ 의 합성을 포함하므로 보다 간접적이다. 후자의 경우 $h$ 와 $V$ 모두 시간의 함수이므로, $V$ 가 $h$ 의 함수로서 어떻게 변하는지뿐만 아니라 $t$ 의 함수로서 어떻게 변하는지도 생각할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are asked to find $\frac{dV}{dh}$ (the derivative of $V$ with respect to the independent variable $h$ ) at the instant $h = 1$ . If we first expand $V$ to write $V = \frac{\pi}{3}\left(12h^2 - h^3\right)$ we find that $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} \left(24h - 3h^2\right) = \pi \left(8h-h^2 \right)\,,$ with units “cubic feet per foot”. Evaluating at $h=1$ , we get $\left. \frac{dV}{dh} \right|_{h=1} = \pi \left(8 \cdot 1 - 1^2 \right) = 7\pi$ (b) Since $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ , the instantaneous rate of change of $h$ with respect to $t$ is $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ , and therefore $h'(2) = \pi \cos(2\pi) = \pi$ feet per hour. (c) First we want to find $\frac{dV}{dt}$ , the derivative of $V$ with respect to the independent variable $t$ . Here we can write $V$ as a function of $t$ by writing $V(t) = \frac{\pi}{3}\left(12(h(t))^2 - (h(t))^3\right)$ , where $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ . By the chain rule, it follows that $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left( 12 \cdot 2 h(t) \cdot h'(t) - 3 (h(t))^2 \cdot h'(t) \right)$ and hence using $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ and $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ , $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(\pi t) + 1) \cdot \pi \cos(\pi t) - 3 (\sin(\pi t) + 1)^2 \cdot \pi \cos(\pi t) \right]$ with units “ feet per hour”. Now we want to find $\frac{dV}{dt}$ when $t=2$ . Using our most recent work, we have $\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t=2} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(2\pi) + 1) \cdot \pi \cos(2\pi) - 3 (\sin(2\pi) + 1)^2 \cdot \pi \cos(2\pi) \right] = 7 \pi^2$ cubic feet per hour. (d) In (a) we are determining the instantaneous rate at which the volume changes as we increase the height of the water in the tank, while in (c) we are finding the instantaneous rate at which volume changes as we increase time. The first calculation is a direct one, while the second is more indirect, as it involves the composition of $V$ with $h$ as a function of time. In the latter case, both $h$ and $V$ are functions of time, which allows us to think not only of how $V$ is changing as a function of $h$ , but also as a function of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 36번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류