관련 변화율 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식에 대한 값을 구하세요.

$\frac{dx}{dt}=4$ 일 때, $x=1$ 과 $y={x}^{2}+3$ 에서 $\frac{dy}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dy}{dt}$ at $x=1$ and $y={x}^{2}+3$ if $\frac{dx}{dt}=4.$

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정답·풀이 보기

$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 3번

# 관련 변화율계산자동 분류

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 식에 대해 해당하는 값을 구하세요.

$\frac{dy}{dt}=-1$ 일 때, $x=-2$ 이고 $y=2{x}^{2}+1$ 에서 $\frac{dx}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dx}{dt}$ at $x=-2$ and $y=2{x}^{2}+1$ if $\frac{dy}{dt}=-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율계산자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.1절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 식에 대해 해당하는 값을 구하세요.

$\frac{dx}{dt}=4$ 이고 $\frac{dy}{dt}=3$ 일 때, $(x,y)=(1,3)$ 이고 ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ 에서 $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dz}{dt}$ at $(x,y)=(1,3)$ and ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ if $\frac{dx}{dt}=4$ and $\frac{dy}{dt}=3.$

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정답·풀이 보기

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 43번

# 관련 변화율계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.1절 · 4번우리말 번역

[계산기 사용] 두 전기 저항을 병렬로 연결하면, 전체 저항(단위는 옴이며, 그리스 문자 대문자 오메가 $\Omega )$ 로 나타냄)은 등식 $\frac{1}{R}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}$ 으로 주어집니다. ${R}_{1}$ 이 $0.5\,\Omega /\min$ 의 변화율로 증가하고 ${R}_{2}$ 가 $1.1\text{Ω/min}$ 의 비율로 감소할 때, ${R}_{1}=20\Omega$ 이고 ${R}_{2}=50\Omega$ 인 순간 전체 저항은 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] If two electrical resistors are connected in parallel, the total resistance (measured in ohms, denoted by the Greek capital letter omega, $\Omega )$ is given by the equation $\frac{1}{R}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}.$ If ${R}_{1}$ is increasing at a rate of $0.5\,\Omega /\min$ and ${R}_{2}$ decreases at a rate of $1.1\text{Ω/min},$ at what rate does the total resistance change when ${R}_{1}=20\Omega$ and ${R}_{2}=50\Omega$ ?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.1절 · 11번

# 관련 변화율계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.1절 · 8번우리말 번역

당신과 친구가 자전거를 타고 식당으로 가고 있다. 당신은 식당이 동쪽에 있다고 생각하고, 친구는 북쪽에 있다고 생각한다. 두 사람은 같은 지점에서 출발하여, 당신은 동쪽으로 16 mph 의 속력으로, 친구는 북쪽으로 $12\,\text{mph}$ 의 속력으로 달린다. 당신이 $4\,\text{mi,}$ 를 이동했을 때, 두 사람 사이의 거리는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

You and a friend are riding your bikes to a restaurant that you think is east; your friend thinks the restaurant is north. You both leave from the same point, with you riding at 16 mph east and your friend riding $12\,\text{mph}$ north. After you traveled $4\,\text{mi,}$ at what rate is the distance between you changing?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 24번

# 관련 변화율계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.1절 · 12번우리말 번역

키가 5 ft인 사람이 2 ft/sec의 속력으로 벽을 향해 걸어가고 있다. 벽에서 40 ft 떨어진 지면에 스포트라이트가 놓여 있다. 이 사람이 벽에서 10 ft 떨어져 있을 때, 벽에 생기는 사람 그림자의 높이는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 5-ft-tall person walks toward a wall at a rate of 2 ft/sec. A spotlight is located on the ground 40 ft from the wall. How fast does the height of the person’s shadow on the wall change when the person is 10 ft from the wall?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 35번

# 관련 변화율계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.1절 · 14번우리말 번역

지면에서 출발한 헬리콥터가 25 ft/sec의 속력으로 곧장 위로 올라가고 있다. 당신은 헬리콥터 바로 아래에서 출발하여 지면을 10 ft/sec의 속력으로 달리고 있다. 5초 후 헬리콥터와 당신 사이의 거리의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

A helicopter starting on the ground is rising directly into the air at a rate of 25 ft/sec. You are running on the ground starting directly under the helicopter at a rate of 10 ft/sec. Find the rate of change of the distance between the helicopter and yourself after 5 sec.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 29번

# 관련 변화율계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.1절 · 37번우리말 번역

당신은 땅 위에 가만히 서서 새 한 마리가 $10$ m/sec 의 속도로 수평으로 날아가는 것을 보고 있습니다. 새는 당신의 머리 위 40 m 높이에 있습니다. 당신과 새 사이의 수평 거리가 9 m 일 때, 올려본각은 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

You are stationary on the ground and are watching a bird fly horizontally at a rate of $10$ m/sec. The bird is located 40 m above your head. How fast does the angle of elevation change when the horizontal distance between you and the bird is 9 m?

정답·풀이 보기

올려본각은 $\frac{400}{1681}\,\text{rad/sec}$ 의 비율로 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

The angle decreases at $\frac{400}{1681}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 22번

# 관련 변화율계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.1절 · 40번우리말 번역

앞의 문제와 같은 상황에서, 해변에서 가장 가까운 지점으로부터 1 mi 떨어진 곳에서 불빛이 해변을 가로질러 움직이는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the same setup as the previous problem, determine at what rate the beam of light moves across the beach 1 mi away from the closest point on the beach.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 5번

# 관련 변화율계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.1절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 타자가 공을 3루 쪽으로 75 ft/sec 로 치고 1루 쪽으로 24 ft/sec 의 속력으로 달립니다. 2초가 지났을 때 공과 타자 사이의 거리는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A batter hits a ball toward third base at 75 ft/sec and runs toward first base at a rate of 24 ft/sec. At what rate does the distance between the ball and the batter change when 2 sec have passed?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 33번

# 관련 변화율계산자동 분류

11.APEX · 4.2절 · 4번우리말 번역

구 모양의 풍선에 10cm $^3$ /s 의 비율로 공기를 불어 넣고 있다. 반지름이 다음과 같을 때, 풍선의 반지름은 얼마나 빠르게 증가하고 있나요?

(a) 1 cm (b) 10 cm (c) 100 cm

영어 원문 보기

A spherical balloon is inflated with air flowing at a rate of 10cm $^3$ /s. How fast is the radius of the balloon increasing when the radius is:

(a) 1 cm? (b) 10 cm? (c) 100 cm?

정답·풀이 보기

(a) $5/(2\pi)\approx 0.796$ cm/s (b) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s (c) $1/(4000\pi)\approx 0.0000796$ cm/s

원본 교재 풀이(영어)

(a) $5/(2\pi)\approx 0.796$ cm/s (b) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s (c) $1/(4000\pi)\approx 0.0000796$ cm/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 11번

# 관련 변화율계산자동 분류

12.CLP-1 · 3.2절 · 1번우리말 번역

두 양 $P$ 와 $Q$ 가 공식 $P=Q^3$ 으로 관계되어 있다고 합시다. $P$ 와 $Q$ 는 시간 $t$ 에 따라 변합니다. 이 정보가 주어졌을 때, 다음 중 풀 수 있는 문제를 모두 고르세요.

ⅰ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. (기억하세요: 기호 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 은 시각 $t=0$ 에서 $P$ 의 $t$ 에 대한 미분계수를 뜻합니다.) ⅱ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $Q$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅲ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅳ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $P$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the quantities $P$ and $Q$ are related by the formula $P=Q^3$ . $P$ and $Q$ are changing with respect to time, $t$ . Given this information, which of the following are problems you could solve?

i. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . (Remember: the notation $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ means the derivative of $P$ with respect to $t$ at the time $t=0$ .) ii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $Q$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . iii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ . iv. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $P$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ .

정답·풀이 보기

$P$ 와 $Q$ 를 관계짓는 등식이 있다:

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{제3의 변수 $t$ 에 대해 음함수 미분한다:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

세 양 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다. 따라서 ⅱ는 풀 수 있는 문제이다. $P$ 를 알면 $Q$ 도 알 수 있으므로( $P$ 의 세제곱근이다), ⅳ도 풀 수 있다. 그러나 $P$ 와 $Q$ 를 둘 다 모르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없다. 따라서 ⅰ과 ⅲ은 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We have an equation relating $P$ and $Q$ :

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{We differentiate implicitly with respect to a third variable, $t$:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

If we know two of the three quantities $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , then we can find the third. Therefore, ii is a question we can solve. If we know $P$ , then we also know $Q$ (it's just the cube root of $P$ ), so also we can solve iv. However, if we know neither $P$ nor $Q$ , then we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , and we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ . So we can't solve i or iii.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번

# 관련 변화율계산기본자동 분류