적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 식으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정확히 구하세요. 교점을 직접 구할 수 없으면 계산기로 교점을 소수 셋째 자리까지 어림하여 근사한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=\sqrt{4-y^{2}}$ 그리고 $y^{2}=1+x^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.

[T] $x=\sqrt{4-{y}^{2}}\,\text{and}\,{y}^{2}=1+{x}^{2}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 곡선의 교점으로 적분 구간을 정하고, 구간마다 (위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선)을 적분해요.

1
먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.
2
영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$ , 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$ 축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.
3
적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$
4
원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.

답

$A\approx 1.605$

자주 하는 실수

위쪽 조각만 구하고 대칭인 아래쪽 조각을 빠뜨려 절반만 답하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$1.605$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 21번

# 넓이(여러 가지 함수)계산도전

2.CLP-2 · 1.1절 · 37번우리말 번역

(a) $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

을 정적분으로 나타내세요.

(b) (a)의 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Express

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

as a definite integal.

(b) Evaluate the integral of part (a).

정답·풀이 보기

풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$ , $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$ , $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution #1: Set $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=-2$ and $b=x_n=0$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $x^2+y^2=4$ (which has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $-2\le x\le 0$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

Solution #2: Set $x_i^*=\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ is equivalent to $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $(x-2)^2+y^2=4$ (which is centered at $(2,0)$ and has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $0\le x\le 2$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

3.CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

To calculate the sum:

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 39번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

4.CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 10번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

5.CLP-2 · 1.1절 · 40번우리말 번역

정적분의 정의를 이용하여 $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 합의 공식 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ 과 $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ 을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ using the definition of the definite integral. You may use the summation formulas $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ and $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$a=0$ , $b=2$ 인 오른쪽 리만 합을 이용한다. 직사각형이 $n$ 개일 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ 이다. 따라서 다음의 값을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We'll use right Riemann sums with $a=0$ and $b=2$ . When there are $n$ rectangles, $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ . So we need to evaluate

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 4번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

6.CLP-2 · 1.1절 · 42번우리말 번역

$n=10$ , $\Delta(x)=10$ , $a=-5$ 일 때 다음 식이 오른쪽 리만 합이 되도록 하는 함수 $f(x)$ 를 하나 구하세요: $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ that has the following expression as a right Riemann sum when $n=10$ , $\Delta(x)=10$ and $a=-5$ : $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

오른쪽 리만 합의 정의에 의해

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{$\Delta x = 10$ 이고 $a=-5$ 이므로,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{두 식을 모두 10으로 나누면,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{따라서 $f(-5+10i)$ 에 대한 식을 얻는다:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{$f(x)$ 를 구하기 위해 $x=-5+10i$ 로 놓으면 $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$ 이다.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of a right Riemann sum,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{Since $\Delta x = 10$ and $a=-5$,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{Dividing both expressions by 10,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{So, we have an expression for $f(-5+10i)$:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{In order to find $f(x)$, let $x=-5+10i$. Then $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 40번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

7.CLP-2 · 1.1절 · 45번우리말 번역

$0 \leq a \leq 1$ 일 때, 기하를 이용하여 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ using geometry, if $0 \leq a \leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $y=\sqrt{1-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원임에 주목한다. 0에서 $a$ 까지 곡선 아래의 넓이를 구하므로, 구하려는 영역은 아래 그림과 같다.

기하를 이용하여 이 넓이를 구하기 위해, 아래와 같이 원의 부채꼴과 삼각형, 두 부분으로 나눈다.

부채꼴의 넓이: 부채꼴은 반지름이 1인 원의 일부이고 중심각은 $\theta$ 이다. 따라서 그 넓이는 $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{원의 넓이}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ 이다.

이제 $\theta$ 를 $a$ 에 대해 나타내야 한다. $\frac{\pi}{2}-\theta$ 는 단위원 안에 있는 빨간 삼각형의 한 내각임에 주목한다. 따라서 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ 이다. 그러면 $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ 이므로 $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ 이다.

그러므로 부채꼴의 넓이는 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ 제곱단위이다.

삼각형의 넓이: 삼각형의 밑변은 $a$ 이다. 높이는 $x=a$ 일 때 함수의 $y$ 값이므로 $\sqrt{1-a^2}$ 이다. 그러면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note $y=\sqrt{1-x^2}$ is the upper half of a circle of radius 1, centred at the origin. We're taking the area under the curve from 0 to $a$ , so the area in question is as shown in the picture below.

In order to use geometry to find this area, we break it up into two pieces: a sector of a circle, and a triangle, shown below.

Area of sector: The sector is a portion of a circle with radius 1, with inner angle $\theta$ . So, its area is $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{area of circle}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ .

Our job now is to find $\theta$ in terms of $a$ . Note $\frac{\pi}{2}-\theta$ is the inner angle of the red triangle, which lies in the unit circle. So, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ . Then $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ , and so $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ .

Then the area of the sector is $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ square units.

Area of triangle: The triangle has base $a$ . Its height is the $y$ -value of the function when $x=a$ , so its height is $\sqrt{1-a^2}$ . Then the area of the triangle is $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

We conclude $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 42번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

8.CLP-2 · 1.5절 · 16번우리말 번역

구간 $0\le x\le 4$ 에서 곡선 $y = x \sqrt{25-x^2}$ 과 $y=3x$ 사이의 전체 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total area between the curves $y = x \sqrt{25-x^2}$ and $y=3x$ , on the interval $0\le x\le 4$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

어느 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 알아내야 한다. 이를 위해 $h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}$ 로 놓는다. $h(x) > 0$ 이면 $y=3x$ 가 위쪽 곡선이고, $h(x)<0$ 이면 $y=x\sqrt{25-x^2}$ 이 위쪽 곡선이다.

$\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{우리는 $[0,4]$ 에 속하는 $x$ 의 값만 다루므로 $x$ 는 음이 아니다. 그러면 $h(x)$ 가 양수가 되는 경우는:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}$

즉, 구간 $[0,4]$ 에서 $h(x)$ 는 양수가 되는 일이 없다. 따라서 $0\le x\le 4$ 인 모든 $x$ 에 대해 $y = x \sqrt{25-x^2}$ 이 $y=3x$ 보다 위에 있다.

그러므로 구하는 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}$

$A_1$ 을 계산하기 위해 치환 $u(x) = 25-x^2$ 을 사용한다. 이때 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x$ 이고, $x=4$ 일 때 $u(4)=25-4^2=9$ , $x=0$ 일 때 $u(0)=25-0^2=25$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}$

$A_2$ 는 부정적분을 직접 이용한다.

$A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24$

따라서 전체 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We need to figure out which curve is on top, when. To do this, set $h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}$ . If $h(x) > 0$ , then $y=3x$ is the top curve; if $h(x)<0$ , then $y=x\sqrt{25-x^2}$ is the top curve.

$\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{We only care about values of $x$ in $[0,4]$, so $x$ is nonnegative. Then $h(x)$ is positive when:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}$

That is, $h(x)$ is never positive over the interval $[0,4]$ . So, $y = x \sqrt{25-x^2}$ lies above $y=3x$ for all $0\le x\le 4$ .

The area we need to calculate is therefore:

$\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}$

To evaluate $A_1$ , we use the substitution $u(x) = 25-x^2$ , for which $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x$ ; and $u(4)=25-4^2=9$ when $x=4$ , while $u(0)=25-0^2=25$ when $x=0$ . Therefore

$\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}$

For $A_2$ we use the antiderivative directly:

$A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24$

Therefore the total area is:

$\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 8번

# 넓이(여러 가지 함수)계산도전자동 분류

9.CLP-2 · 1.7절 · 18번우리말 번역

$\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$u = \arctan(2y)$ , $\mathrm{d}v = 4y \,\mathrm{d}y$ 로 놓고 부분적분을 한다. 그러면 $v=2y^2$ 이고 $\mathrm{d}u= \frac{2\, \mathrm{d}y}{1+(2y)^2}$ 이다:

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = \underbrace{2y^2\arctan(2y)}_{uv} - \int\underbrace{ \frac{4y^2}{(2y)^2+1} \,\mathrm{d}y}_{v\mathrm{d}u} \end{aligned}$

피적분함수 $\frac{4y^2}{(2y)^2+1}$ 는 유리함수이다. 따라서 남은 적분은 먼저 나눗셈을 한 다음 부분분수 방법으로 계산할 수 있다. 그러나 $\frac{4y^2}{4y^2+1} = \frac{4y^2+1}{4y^2+1} - \frac{1}{4y^2+1}$ 임을 알아차리는 것이 더 쉽다. 그러므로 다음을 얻는다:

$\begin{aligned} \int \frac{4y^2}{4y^2+1} \,\mathrm{d}y = \int \left(1 - \frac{1}{4y^2+1}\right)\,\mathrm{d}y = y - \frac12\arctan(2y) + C \end{aligned}$

따라서 최종 답은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = 2y^2\arctan(2y) - y + \frac{1}{2}\arctan(2y) + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We integrate by parts, using $u = \arctan(2y)$ , $\mathrm{d}v = 4y \,\mathrm{d}y$ , so that $v=2y^2$ and $\mathrm{d}u= \frac{2\, \mathrm{d}y}{1+(2y)^2}$ :

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = \underbrace{2y^2\arctan(2y)}_{uv} - \int\underbrace{ \frac{4y^2}{(2y)^2+1} \,\mathrm{d}y}_{v\mathrm{d}u} \end{aligned}$

The integrand $\frac{4y^2}{(2y)^2+1}$ is a rational function. So the remaining integral can be evaluated using the method of partial fractions, starting with long division. But it is easier to just notice that $\frac{4y^2}{4y^2+1} = \frac{4y^2+1}{4y^2+1} - \frac{1}{4y^2+1}$ . We therefore have:

$\begin{aligned} \int \frac{4y^2}{4y^2+1} \,\mathrm{d}y = \int \left(1 - \frac{1}{4y^2+1}\right)\,\mathrm{d}y = y - \frac12\arctan(2y) + C \end{aligned}$

The final answer is then

$\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = 2y^2\arctan(2y) - y + \frac{1}{2}\arctan(2y) + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 16번

# 부분적분법계산도전자동 분류

10.CLP-2 · 1.7절 · 23번우리말 번역

$\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

어디서부터 시작해야 할지 분명하지 않지만, 일반적으로 삼각함수의 인수가 같으면 편리하다. 그래서 항등식 $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ 를 이용한다.

$\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{이제 $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$ 로 치환할 수 있다.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{여기서부터 적분이 더 익숙해 보일 것이다. $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, $v=e^w$ 로 놓고 부분적분을 할 수 있다.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

It's not obvious where to start, but in general it's nice to have the arguments of our trig functions the same. So, we use the identity $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ .

$\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{Now we can use the substitution $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{From here the integral should look more familiar. We can use integration by parts with $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, and $v=e^w$.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 18번

# 부분적분법계산도전자동 분류

11.CLP-2 · 1.7절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수가 여러 함수의 곱으로 이루어져 있고, 뚜렷한 치환도 보이지 않는다. 그래서 부분적분을 생각한다. $\frac{1}{(1-x)^2}$ 의 부정적분은 알고 있는데, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$ 임을 알고 있기 때문이다. 그러므로 $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}$ 과 $u=xe^{-x}$ 로 놓아 보자. 그러면 $v=\frac{1}{1-x}$ 이고 $\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x$ 이다. 따라서 부분적분에 의해

$\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We've got an integrand that consists of several functions multiplied together, and no obvious substitution. So, we think about integration by parts. We know an antiderivative for $\frac{1}{(1-x)^2}$ , because we know $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$ . So let's try $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}$ and $u=xe^{-x}$ . Then $v=\frac{1}{1-x}$ and $\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x$ . So, by integration by parts,

$\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 12번

# 부분적분법계산도전자동 분류

12.CLP-2 · 1.7절 · 25번우리말 번역

점화식.

(a) 다음 점화식을 유도하세요. $\int\sin^n(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A reduction formula.

(a) Derive the reduction formula $\int\sin^n(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) Calculate $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 피적분함수의 "부분"은 사인의 거듭제곱이다. 점화식의 우변을 보면, 정확히 같지는 않지만 $\sin^{n-1}x$ 의 도함수와 조금 비슷해 보인다. 그래서 $u=\sin^{n-1}x$ , $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면 $\mathrm{d}u=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x$ 이고 $v=-\cos x$ 이다.

$\begin{aligned} \int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=\underbrace{-\sin^{n-1}x\ \cos x}_{uv}+\underbrace{(n-1)\int \cos^2x\ \sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x}_{-\int v\mathrm{d}u} \\ \text{항등식 $\sin^2 x + \cos^2 x =1 $ 을 이용하면,} \\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x -(n-1)\int\sin^{n}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

우변의 마지막 항을 좌변으로 옮기면

$\begin{aligned} n\int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

양변을 $n$ 으로 나누면 구하려던 점화식이 얻어진다.

(b) (a)의 점화식에 의해 $n \ge 2$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,\mathrm{d}x= \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

이다. 이는 $\sin 0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ 이기 때문이다. $n=8,6,4,2$ 에 대해 이 점화식을 적용하면:

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{7}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^6(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\int_0^{\pi/2}\sin^4(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{35}{256}\pi \end{aligned}$

계산기를 사용하면 이 값은 약 $0.4295$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The “parts" in the integrand are powers of sine. Looking at the right hand side of the reduction formula, we see that it looks a little like the derivative of $\sin^{n-1}x$ , although not exactly. So, let's integrate by parts with $u=\sin^{n-1}x$ and $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ , so that $\mathrm{d}u=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x$ and $v=-\cos x$ .

$\begin{aligned} \int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=\underbrace{-\sin^{n-1}x\ \cos x}_{uv}+\underbrace{(n-1)\int \cos^2x\ \sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x}_{-\int v\mathrm{d}u} \\ \text{Using the identity $\sin^2 x + \cos^2 x =1 $,} \\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x -(n-1)\int\sin^{n}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

Moving the last term on the right hand side to the left hand side gives

$\begin{aligned} n\int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

Dividing across by $n$ gives the desired reduction formula.

(b) By the reduction formula of part (a), if $n \ge 2$ ,

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,\mathrm{d}x= \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

since $\sin 0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ . Applying this reduction formula, with $n=8,6,4,2$ :

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{7}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^6(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\int_0^{\pi/2}\sin^4(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{35}{256}\pi \end{aligned}$

Using a calculator, we see this is approximately $0.4295$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 24번

# 부분적분법계산도전자동 분류

13.CLP-2 · 1.7절 · 28번우리말 번역

$f(0) = 1$ , $f(2) = 3$ , $f'(2) = 4$ 라 하자. ${\displaystyle\int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(0) = 1$ , $f(2) = 3$ and $f'(2) = 4$ . Calculate ${\displaystyle\int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f''$ 의 인수에 있는 제곱근을 없애기 위해 변수변환(“치환”이라고도 한다) $x=t^2,\ \mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ 를 한다.

$\begin{aligned} \int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x &= 2\int_0^2 tf''(t)\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

다음으로 $f''$ 을 $f'$ 으로 바꾸기 위해 $u=t$ , $\mathrm{d}v=f''(t)\,\mathrm{d}t$ , $v=f'(t)$ 로 놓고 부분적분한다.

$\begin{aligned} \int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x &= 2\bigg\{\Big[\underbrace{tf'(t)}_{uv}\Big]_0^2-\int_0^2\!\!\!\underbrace{ f'(t)\,\mathrm{d}t}_{v\mathrm{d}u}\bigg\} \\ &=2\Big[tf'(t)-f(t)\Big]_0^2 \\ &=2\big[2f'(2)-f(2)+f(0)\big]=2\big[2\times 4-3+1\big]\\ &=12 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

To get rid of the square root in the argument of $f''$ , we make the change of variables (also called “substitution") $x=t^2,\ \mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ .

$\begin{aligned} \int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x &= 2\int_0^2 tf''(t)\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

Then, to convert $f''$ into $f'$ , we integrate by parts with $u=t$ , $\mathrm{d}v=f''(t)\,\mathrm{d}t$ , $v=f'(t)$ .

$\begin{aligned} \int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\mathrm{d}x &= 2\bigg\{\Big[\underbrace{tf'(t)}_{uv}\Big]_0^2-\int_0^2\!\!\!\underbrace{ f'(t)\,\mathrm{d}t}_{v\mathrm{d}u}\bigg\} \\ &=2\Big[tf'(t)-f(t)\Big]_0^2 \\ &=2\big[2f'(2)-f(2)+f(0)\big]=2\big[2\times 4-3+1\big]\\ &=12 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 23번

# 부분적분법계산도전자동 분류

적분법 전체 문제