빌드라인 스쿨

문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

인수분해·근의 공식으로 이차방정식을 풀고 활용한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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630문제 · 19 / 32쪽

361.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 1번우리말 번역

연속하는 두 홀수 정수의 곱이 195입니다. 그 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive odd integers is 195. Find the integers.

정답·풀이 보기
1단계. 읽기 문제를 읽는다.
2단계. 파악하기 구하려는 것이 무엇인지 파악한다. 연속하는 두 홀수 정수를 구하려고 한다.
3단계. 이름 붙이기 구하려는 것에 문자로 이름을 붙인다. n=n= 첫 번째 홀수 정수라 하자. n+2=n+2= 그다음 홀수 정수
4단계. 식으로 나타내기 문제를 한 문장으로 나타낸다. "연속하는 두 홀수 정수의 곱이 195이다." 첫 번째 홀수 정수와 두 번째 홀수 정수의 곱이 195이다.
방정식으로 나타낸다 이 이미지에는 수학 방정식 n(n+2) = 195가 나타나 있으며, 'n'은 변수이다.
5단계. 풀기 방정식을 푼다. 분배한다. 흰 배경에 'n 제곱 더하기 2n은 195와 같다'라고 읽히는 수학 방정식이 나타나 있다.
195를 빼서 방정식을 일반형으로 만든다. 두 이차방정식이 나타나 있다. 빨간색으로 쓴 일반형 'ax^2 + bx + c = 0'이 있고, 그 뒤에 검은색 글씨로 구체적인 예인 'n^2 + 2n - 195 = 0'이 있다.
a, b, c 의 값을 찾는다. 흰 배경에 여러 가지 색으로 수학 문자와 그 값이 나타나 있다: a = 1, b = 2, c = -195.
이차방정식을 쓴다. 계수 a, b, c를 이용하여 'n'을 구하는 근의 공식이다.
그런 다음 a, b, c 의 값을 대입한다. n을 구하기 위해 근의 공식에 구체적인 값을 대입한 모습이다. 식은 -2 ×1 제곱근 (2^2 - 4 * 1 * -195)을 (2 * 1)로 나눈 꼴이며, 일부 값은 강조되어 있다.
간단히 한다. n이 분수와 같다는 수학 방정식이 나타나 있다. 분자는 -2 플러스 마이너스 4 더하기 780의 제곱근이고, 분모는 2이다. 흰 배경에 'n은 음의 2 플러스 마이너스 784의 제곱근을 2로 나눈 것과 같다'라는 방정식이 나타나 있다. 이는 이차방정식을 푸는 과정의 한 단계이다.
근호를 간단히 한다. 수학 방정식에서 'n'이 분수와 같다. 분자는 '-2 플러스 마이너스 28'이고 분모는 '2'이다.
두 개의 해가 나타나도록 다시 쓴다. 이미지에는 'n'에 대한 두 식 n = (-2 + 28) / 2 와 n = (-2 - 28) / 2 가 나타나 있다. 이 식들은 이차방정식을 풀 때 얻는 두 근을 나타낸다.
각각의 방정식을 푼다. 흰 배경에 두 방정식 'n = 26/2'와 'n = -30/2'가 가로로 나타나 있다. 이 방정식들은 변수 n이 분수로 정의되는 것을 보여 준다. 흰 배경에 간결하고 선명한 글꼴로 방정식 'n = 13'과 'n = -15'가 나타나 있다.
해가 되는 nn 의 값이 두 개이다. 따라서 답으로 연속하는 홀수 정수의 쌍이 두 개 나온다. 첫 번째 홀수 정수 n=13n=13 그다음 홀수 정수 n+2n+2 13+2\quad 13+2 15\quad 15
첫 번째 홀수 정수 n=−15n=-15 그다음 홀수 정수 n+2n+2 −15+2\quad -15+2 −13\quad -13
6단계. 확인하기 답을 확인한다. 이 쌍들이 조건에 맞는가? 연속하는 홀수 정수인가? 곱이 195인가? 13,15, 예−13,−15, 예13⋅15=195, 예−13(−15)=195, 예\begin{array}{cccc}13,15,\,\text{예} & & & -13,-15,\,\text{예} \\ 13\cdot 15=195,\,\text{예} & & & -13(-15)=195,\,\text{예}\end{array}
7단계. 답하기 질문에 답한다. 곱이 195인 연속하는 두 홀수 정수는 13, 15와 −13, −15이다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for two consecutive odd integers.
Step 3. Name what we are looking for. Let n=n= the first odd integer. n+2=n+2= the next odd integer
Step 4. Translate into an equation. State the problem in one sentence. "The product of two consecutive odd integers is 195." The product of the first odd integer and the second odd integer is 195.
Translate into an equation The image displays the mathematical equation n(n+2) = 195, where 'n' is a variable.
Step 5. Solve the equation. Distribute. A mathematical equation is displayed on a white background, reading 'n squared plus 2n equals 195'.
Subtract 195 to get the equation in standard form. Two quadratic equations are displayed: the general form 'ax^2 + bx + c = 0' in red, followed by a specific example, 'n^2 + 2n - 195 = 0,' in black text.
Identify the a, b, c values. The image displays mathematical variables with their assigned values: a = 1, b = 2, and c = -195, presented in different colors against a white background.
Write the quadratic equation. The quadratic formula, solving for 'n' using coefficients a, b, and c.
Then substitute in the values of a, b, c.. The quadratic formula is shown with specific values substituted for solving n. The equation features -2 ×1 square root of (2^2 - 4 * 1 * -195), all divided by (2 * 1), with some values highlighted.
Simplify. A mathematical equation is displayed, showing n equals a fraction where the numerator is -2 plus or minus the square root of 4 plus 780, all divided by 2. A mathematical equation shows 'n equals negative 2 plus or minus the square root of 784, all divided by 2' on a white background. This is a step in solving a quadratic equation.
Simplify the radical. A mathematical equation shows 'n' is equal to a fraction where the numerator is '-2 plus or minus 28' and the denominator is '2'.
Rewrite to show two solutions. The image displays two expressions for 'n': n = (-2 + 28) / 2 and n = (-2 - 28) / 2. These typically represent the two roots found when solving a quadratic equation.
Solve each equation. Two mathematical equations are displayed horizontally on a white background: 'n = 26/2' and 'n = -30/2'. The equations show the variable 'n' being defined by fractions. The image displays the equations 'n = 13' and 'n = -15' in a simple, clear font on a white background.
There are two values of n that are solutions. This will give us two pairs of consecutive odd integers for our solution. First odd integer n=13n=13 next odd integer n+2n+2 13+2\quad 13+2 15\quad 15
First odd integer n=−15n=-15 next odd integer n+2n+2 −15+2\quad -15+2 −13\quad -13
Step 6. Check the answer. Do these pairs work? Are they consecutive odd integers? Is their product 195? 13,15, yes−13,−15, yes13⋅15=195, yes−13(−15)=195, yes\begin{array}{cccc}13,15,\,\text{yes} & & & -13,-15,\,\text{yes} \\ 13\cdot 15=195,\,\text{yes} & & & -13(-15)=195,\,\text{yes}\end{array}
Step 7. Answer the question. The two consecutive odd integers whose product is 195 are 13, 15, and −13, −15.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 5번
# 이차방정식계산자동 분류
362.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 1번우리말 번역

연속하는 두 홀수 정수의 곱이 99입니다. 그 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive odd integers is 99. Find the integers.

정답·풀이 보기

곱이 99인 연속하는 두 홀수는 9와 11, 그리고 −9-9와 −11-11이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two consecutive odd numbers whose product is 99 are 9 and 11, and −9-9 and −11-11.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 1번
# 이차방정식계산자동 분류
363.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 2번우리말 번역

연속하는 두 짝수 정수의 곱이 168입니다. 그 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive even integers is 168. Find the integers.

정답·풀이 보기

곱이 168인 연속하는 두 짝수는 12와 14, 그리고 −12-12와 −14-14이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two consecutive even numbers whose product is 168 are 12 and 14,and −12-12 and −14-14.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.3절 · 15번
# 이차방정식계산자동 분류
364.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 2번우리말 번역

건축가가 식당의 입구를 설계하고 있습니다. 그녀는 출입구 위에 삼각형 모양의 창을 달려고 합니다. 에너지 규제 때문에 창의 넓이는 120제곱피트로 할 수 있고, 건축가는 너비를 높이의 두 배보다 4피트 더 크게 하려고 합니다. 창의 높이와 너비를 구하세요.

영어 원문 보기

An architect is designing the entryway of a restaurant. She wants to put a triangular window above the doorway. Due to energy restrictions, the window can have an area of 120 square feet and the architect wants the width to be 4 feet more than twice the height. Find the height and width of the window.

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그린다. 높이가 'h', 밑변이 '2h + 4'로 표시된 삼각형이다. 기하 문제나 계산에 쓰이는 길이를 나타낸다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 높이와 너비를 구하려고 한다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. h=h= 삼각형의 높이라 하자. 2h+4=2h+4= 삼각형의 너비
4단계. 식으로 나타낸다. 넓이를 알고 있다. 삼각형의 넓이 공식을 쓴다. 삼각형의 넓이 공식 A = (1/2)bh를 나타낸 그림이다. A는 넓이, b는 밑변, h는 높이이다.
5단계. 방정식을 푼다. 값을 대입한다. 흰 배경 가운데에 방정식 '120 = 1/2(2h + 4)h'가 나타나 있다. 이 방정식은 숫자와 변수 'h'로 이루어져 있으며 이차 관계를 나타낸다.
분배법칙으로 전개한다. 흰 배경 가운데에 수학 방정식 120 = h² + 2h가 나타나 있다.
이것은 이차방정식이므로 일반형으로 고쳐 쓴다. 두 개의 이차방정식이 나타나 있다. 빨간색으로 쓴 일반형 ax^2 + bx + c = 0과, 흰 배경 위에 검은색으로 쓴 구체적인 예 h^2 + 2h - 120 = 0이다.
근의 공식을 이용하여 방정식을 푼다. a, b, c 의 값을 찾는다. 문자와 그 값을 나타낸 수학적 식이다. a = 1(하늘색), b = 2(빨간색), c = -√120(연두색)이며 모두 흰 배경 위에 있다.
이차방정식을 쓴다. 근의 공식이 나타나 있다. h는 -b 플러스 마이너스 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근을 2a로 나눈 값과 같다.
그런 다음 a, b, c 의 값을 대입한다. 근의 공식에 구체적인 값을 대입하여 'h'를 구하는 수학적 식이다.
간단히 한다. 'h'에 대한 수학 방정식이 나타나 있다. h는 분수와 같고, 분자는 -2 플러스 마이너스 (4 더하기 480)의 제곱근이며, 분모는 2이다. 방정식 h = (-2 ± sqrt(484)) / 2가 나타나 있다.
근호를 간단히 한다. 흰 배경 위에 수학 방정식이 나타나 있다: h = (-2 흰 배경 위에 수학 방정식이 나타나 있다: h = (-2 ± 22) / 2.
두 개의 해가 보이도록 고쳐 쓴다. 이차방정식의 풀이에서 얻은 'h'의 두 값이다: h = (-2 + 22) / 2 와 h = (-2 - 22) / 2.
간단히 한다. 흰 배경 위에 두 개의 방정식이 나타나 있다. 첫 번째 방정식은 h = 20/2이고, 두 번째 방정식은 h = -24/2이며, 두 식 사이에 쉼표가 있다.
h 는 창의 높이이므로 h=−12h=-12 는 적절하지 않다. 'h = 10'과, 가위표로 지워진 전체 식 'b = 12'를 나타낸 수학 표기이다. 수정했거나 중단한 계산을 암시한다.
삼각형의 높이: h=10\quad h=10 삼각형의 너비: 2h+4\quad 2h+4 2⋅10+4\quad 2\cdot 10+4 24\quad 24
6단계. 답을 확인한다. 높이가 10이고 너비가 24인 삼각형의 넓이가 120인가? 예.
7단계. 질문에 답한다. 삼각형 창의 높이는 10피트이고 너비는 24피트이다.

해가 정수였음에 주목하자. 이는 인수분해로도 방정식을 풀 수 있었다는 뜻이다.

방정식을 일반형 h2+2h−120=0{h}^{2}+2h-120=0 으로 썼을 때 인수분해할 수 있었다. 그렇게 했다면 방정식 (h+12)(h−10)=0(h+12)(h-10)=0 을 풀었을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem. Draw a picture. A triangle with its height labeled 'h' and its base labeled '2h + 4', indicating dimensions for a geometric problem or calculation.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for the height and width.
Step 3. Name what we are looking for. Let h=h= the height of the triangle. 2h+4=2h+4= the width of the triangle
Step 4. Translate. We know the area. Write the formula for the area of a triangle. The image displays the mathematical formula for the area of a triangle, A = (1/2)bh, where A represents the area, b is the base, and h is the height.
Step 5. Solve the equation. Substitute in the values. The image shows the mathematical equation '120 = 1/2(2h + 4)h' centered on a white background. The equation involves numbers and the variable 'h', representing a quadratic relationship.
Distribute. A mathematical equation 120 = h² + 2h is displayed in the center of a white background.
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. Two quadratic equations are presented: the general form ax^2 + bx + c = 0 in red, and a specific instance h^2 + 2h - 120 = 0 in black on a white background.
Solve the equation using the Quadratic Formula. Identify the a, b, c values. A mathematical expression displaying variables and their values: a = 1 (light blue), b = 2 (red), and c = -√120 (yellow-green), all on a white background.
Write the quadratic equation. The quadratic formula is displayed, showing h equals the quantity negative b plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a.
Then substitute in the values of a, b, c.. Mathematical expression showing the quadratic formula applied to find 'h', with specific values substituted.
Simplify. A mathematical equation for 'h' is shown: h equals a fraction where the numerator is -2 plus or minus the square root of (4 plus 480), and the denominator is 2. The image shows the mathematical equation h = (-2 ± sqrt(484)) / 2.
Simplify the radical. A mathematical equation is displayed on a white background: h = (-2 A mathematical equation is displayed on a white background: h = (-2 ± 22) / 2.
Rewrite to show two solutions. The two values for 'h' from a quadratic solution: h = (-2 + 22) / 2 and h = (-2 - 22) / 2.
Simplify. Two mathematical equations are displayed on a white background. The first equation is h = 20/2, and the second is h = -24/2, with a comma separating the two expressions.
Since h is the height of a window, a value of h=−12h=-12 does not make sense. Mathematical notation featuring 'h = 10' and the full expression 'b = 12' crossed out, suggesting a correction or an abandoned calculation.
The height of the triangle: h=10\quad h=10 The width of the triangle: 2h+4\quad 2h+4 2⋅10+4\quad 2\cdot 10+4 24\quad 24
Step 6. Check the answer. Does a triangle with a height 10 and width 24 have area 120? Yes.
Step 7. Answer the question. The height of the triangular window is 10 feet and the width is 24 feet.

Notice that the solutions were integers. That tells us that we could have solved the equation by factoring.

When we wrote the equation in standard form, h2+2h−120=0{h}^{2}+2h-120=0, we could have factored it. If we did, we would have solved the equation (h+12)(h−10)=0(h+12)(h-10)=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 1번
# 이차방정식활용자동 분류
365.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 3번우리말 번역

너비가 높이의 6배보다 4만큼 크고 넓이가 208제곱인치인 삼각형의 크기(너비와 높이)를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the dimensions of a triangle whose width is four more than six times its height and has an area of 208 square inches.

정답·풀이 보기

삼각형의 높이는 8인치이고 너비는 52인치이다.

원본 교재 풀이(영어)

The height of the triangle is 8 inches and the width is 52 inches.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 3번
# 이차방정식활용자동 분류
366.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 4번우리말 번역

넓이가 110제곱피트인 삼각형의 높이가 너비의 2배보다 2피트 작다면, 이 삼각형의 크기(너비와 높이)는 얼마인가요?

영어 원문 보기

If a triangle that has an area of 110 square feet has a height that is two feet less than twice the width, what are its dimensions?

정답·풀이 보기

삼각형의 높이는 20피트이고 너비는 11피트이다.

원본 교재 풀이(영어)

The height of the triangle is 20 feet and the width is 11 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 2번
# 이차방정식활용자동 분류
367.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 3번우리말 번역

르네는 휴일 조명 장식을 설치하고 있다. 그는 아래 그림과 같이 직각삼각형 두 개 모양의 '나무'를 만들려고 하며, 변으로 쓸 10피트짜리 전구 줄 두 개를 가지고 있다. 그는 전구 줄을 기둥의 꼭대기와 땅에 있는 두 말뚝에 연결할 것이다. 그는 기둥의 높이가 기둥의 밑부분에서 각 말뚝까지의 거리와 같기를 원한다. 기둥의 높이는 얼마여야 하나요?

영어 원문 보기

Rene is setting up a holiday light display. He wants to make a ‘tree’ in the shape of two right triangles, as shown below, and has two 10-foot strings of lights to use for the sides. He will attach the lights to the top of a pole and to two stakes on the ground. He wants the height of the pole to be the same as the distance from the base of the pole to each stake. How tall should the pole be?

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그린다. 꼭대기에서 밑변까지 세로 선분이 그어진 삼각형을 나타낸 기하 도형이다. 기울어진 변 중 하나에는 숫자 '10'이 적혀 있고, 아래쪽을 향한 화살표 두 개가 밑변 위의 두 지점을 가리킨다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 기둥의 높이를 구하려고 한다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. 기둥의 밑부분에서 각 말뚝까지의 거리는 기둥의 높이와 같다. x=x= 기둥의 높이라 하자. x=x= 기둥에서 말뚝까지의 거리
각 변은 직각삼각형이다. 그중 하나의 그림을 그린다. 같은 길이의 두 변이 'x'로 표시되고 빗변이 '10'으로 표시된 직각삼각형이다.
4단계. 식으로 나타낸다. 피타고라스 정리를 이용하여 x 를 구할 수 있다.
피타고라스 정리를 쓴다. a2+b2=c2{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}
5단계. 방정식을 푼다. 대입한다. x2+x2=102{x}^{2}+{x}^{2}={10}^{2}
간단히 한다. 2x2=100\quad 2{x}^{2}=100
변수를 분리하기 위해 2로 나눈다. 2x22=1002\quad \frac{2{x}^{2}}{2}=\frac{100}{2}
간단히 한다. x2=50\quad {x}^{2}=50
제곱근의 성질을 이용한다. x=± 50\quad x=\pm \,\sqrt{50}
근호를 간단히 한다. x=± 52\quad x=\pm \,5\sqrt{2}
두 개의 해로 다시 쓴다. x=52\quad x=5\sqrt{2} x=−52\quad x=-5\sqrt{2}
계산기로 이 수를 반올림하여 소수 첫째 자리까지 어림한다. x≈7.1\quad x\approx 7.1
6단계. 답을 확인한다. 피타고라스 정리에 직접 대입하여 확인한다.
7단계. 질문에 답한다. 기둥의 높이는 약 7.1피트여야 한다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem. Draw a picture. A geometric diagram displaying a triangle with a vertical line segment from the apex to the base. One of the sloped sides is labeled with the number '10,' and two downward arrows indicate points at the base.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for the height of the pole.
Step 3. Name what we are looking for. The distance from the base of the pole to either stake is the same as the height of the pole. Let x=x= the height of the pole. x=x= the distance from the pole to stake
Each side is a right triangle. We draw a picture of one of them. A right-angled triangle is shown with two equal sides labeled 'x' and the hypotenuse labeled '10'.
Step 4. Translate into an equation. We can use the Pythagorean Theorem to solve for x.
Write the Pythagorean Theorem. a2+b2=c2{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}
Step 5. Solve the equation. Substitute. x2+x2=102{x}^{2}+{x}^{2}={10}^{2}
Simplify. 2x2=100\quad 2{x}^{2}=100
Divide by 2 to isolate the variable. 2x22=1002\quad \frac{2{x}^{2}}{2}=\frac{100}{2}
Simplify. x2=50\quad {x}^{2}=50
Use the Square Root Property. x=± 50\quad x=\pm \,\sqrt{50}
Simplify the radical. x=± 52\quad x=\pm \,5\sqrt{2}
Rewrite to show two solutions. x=52\quad x=5\sqrt{2} x=−52\quad x=-5\sqrt{2}
Approximate this number to the nearest tenth with a calculator. x≈7.1\quad x\approx 7.1
Step 6. Check the answer. Check on your own in the Pythagorean Theorem.
Step 7. Answer the question. The pole should be about 7.1 feet tall.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.5절 · 1번
# 이차방정식계산자동 분류
368.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 5번우리말 번역

태양이 깃대에 그림자를 드리웁니다. 깃대의 높이는 그림자 길이의 세 배입니다. 그림자의 끝과 깃대의 꼭대기 사이의 거리는 20피트입니다. 그림자의 길이와 깃대의 길이를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요(단위: 피트).

영어 원문 보기

The sun casts a shadow from a flag pole. The height of the flag pole is three times the length of its shadow. The distance between the end of the shadow and the top of the flag pole is 20 feet. Find the length of the shadow and the length of the flag pole. Round to the nearest tenth of a foot.

정답·풀이 보기

그림자의 길이는 6.3피트이고 깃대의 길이는 18.9피트이다.

원본 교재 풀이(영어)

The length of the shadow is 6.3 feet and the length of the flag pole is 18.9 ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 5번
# 이차방정식활용자동 분류
369.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 6번우리말 번역

직사각형 모양의 들판에서 마주 보는 꼭짓점 사이의 거리는 들판의 너비보다 4만큼 더 깁니다. 들판의 길이는 너비의 두 배입니다. 마주 보는 꼭짓점 사이의 거리를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

The distance between opposite corners of a rectangular field is four more than the width of the field. The length of the field is twice its width. Find the distance between the opposite corners. Round to the nearest tenth.

정답·풀이 보기

마주 보는 꼭짓점 사이의 거리는 3.2이다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance to the opposite corner is 3.2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.3절 · 19번
# 이차방정식계산자동 분류
370.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 4번우리말 번역

마이크는 앞마당에 인조 잔디 150제곱피트를 깔려고 합니다. 이는 주택 소유자 협회가 허용하는 인조 잔디의 최대 넓이입니다. 그는 길이가 폭의 3배보다 1피트 짧은 직사각형 모양의 잔디 영역을 만들려고 합니다. 길이와 폭을 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

Mike wants to put 150 square feet of artificial turf in his front yard. This is the maximum area of artificial turf allowed by his homeowners association. He wants to have a rectangular area of turf with length one foot less than three times the width. Find the length and width. Round to the nearest tenth of a foot.

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그린다. 대수적으로 치수를 나타낸 직사각형이 있다. 폭은 'w'이고 길이는 '3w-1'이다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 구하려는 것은 길이와 폭이다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. w=w= 직사각형의 폭이라 하자. 3w−1=3w-1= 직사각형의 길이
4단계. 방정식으로 나타낸다. 넓이를 알고 있다. 직사각형의 넓이 공식을 쓴다. 넓이를 구하는 수학 공식: A = L * W.
5단계. 방정식을 푼다. 값을 대입한다. 흰 배경에 수학 방정식이 있다. 150 = (3w - 1)w 이다. 숫자와 문자는 짙은 회색 글씨이다.
분배법칙을 적용한다. 흰 배경에 수학 방정식이 있다: 150 = 3w^2 - W. 숫자와 문자는 짙은 회색 글씨이다.
이것은 이차방정식이므로 일반형으로 고쳐 쓴다. 두 개의 이차방정식이 있다. 일반형 ax^2 + bx + c = 0 과 구체적인 예인 3w^2 - w - 150 = 0 이다.
근의 공식을 이용하여 방정식을 푼다.
a, b, c 의 값을 찾는다. a = 3, b = -1, c = -150 이라는 변수의 값이 가로 한 줄로 적혀 있으며, 각각 다른 색으로 쓰여 있다. 'a'는 하늘색, 'b'는 빨간색, 'c'는 노란색이다.
근의 공식을 쓴다. 'w'를 변수로 하는 근의 공식이다. w는 분자가 −b 플러스 마이너스 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근이고, 분모가 2a인 분수와 같다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. a(3, 파란색), b(-1, 빨간색), c(-150, 노란색)의 값을 대입한 근의 공식으로, W를 구하는 식이다.
간단히 한다. W가 분수 (1 플러스 마이너스 (1 + 1800)의 제곱근)을 6으로 나눈 값과 같다는 방정식이 있다. W가 분수 1 플러스 마이너스 1801의 제곱근을 6으로 나눈 값과 같다는 방정식이 있다.
두 개의 해가 드러나도록 고쳐 쓴다. 이차방정식의 해를 나타내는, 제곱근과 6으로 나누기가 들어 있는 'w'에 대한 두 개의 식이 있다: w = (1 + √1801)/6 과 w = (1 - √1801)/6.
계산기를 사용하여 답을 어림한다. 폭이 될 수 없는 음수인 해는 제외한다. 폭(w ≈ 7.2)과 길이(L ≈ 3w - 1, 따라서 L ≈ 20.6)를 계산하는 풀이 과정이 있으며, 음수인 'w'의 값은 타당하지 않으므로 줄을 그어 지워 놓았다.
6단계. 답을 확인한다. 답이 타당한지 확인한다.
7단계. 질문에 답한다. 직사각형의 폭은 약 7.2피트이고 길이는 약 20.6피트이다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem. Draw a picture. A rectangle is shown with its dimensions labeled algebraically: the width is 'w' and the length is '3w-1'.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for the length and width.
Step 3. Name what we are looking for. Let w=w= the width of the rectangle. 3w−1=3w-1= the length of the rectangle
Step 4. Translate into an equation. We know the area. Write the formula for the area of a rectangle. The mathematical formula for calculating area: A = L * W.
Step 5. Solve the equation. Substitute in the values. A mathematical equation is displayed on a white background, which reads 150 = (3w - 1)w. The numbers and variables are in a dark gray font.
Distribute. A mathematical equation is displayed on a white background: 150 = 3w^2 - W. The numbers and variables are in a dark gray font.
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. Two quadratic equations are displayed: the general form ax^2 + bx + c = 0, and a specific example 3w^2 - w - 150 = 0.
Solve the equation using the Quadratic Formula.
Identify the a, b, c values. The image displays the variable assignments a = 3, b = -1, c = -150, written in a horizontal line with different colors for each assignment: 'a' in light blue, 'b' in red, and 'c' in yellow.
Write the Quadratic Formula. The quadratic formula with 'w' as the variable, showing w equals negative b plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a.
Then substitute in the values of a, b, c. The quadratic formula with substituted values for a (3, blue), b (-1, red), and c (-150, yellow) to solve for W.
Simplify. The image shows a mathematical equation where W is calculated as the fraction of (1 plus or minus the square root of (1 + 1800)) all divided by 6. A mathematical equation shows W equals the fraction of one plus or minus the square root of 1801, all divided by six.
Rewrite to show two solutions. Two mathematical expressions for 'w' are displayed, showing the solutions to a quadratic equation involving a square root and division by six: w = (1 + √1801)/6 and w = (1 - √1801)/6.
Approximate the answers using a calculator. We eliminate the negative solution for the width. Mathematical steps showing the calculation of width (w ≈ 7.2) and length (L ≈ 3w - 1, resulting in L ≈ 20.6), with a negative 'w' value crossed out as invalid.
Step 6. Check the answer. Make sure that the answers make sense.
Step 7. Answer the question. The width of the rectangle is approximately 7.2 feet and the length 20.6 feet.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 5번
# 이차방정식활용자동 분류
371.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 7번우리말 번역

넓이가 200제곱피트인 직사각형 모양 채소밭의 길이는 너비의 2배보다 4피트 짧습니다. 채소밭의 길이와 너비를 구하세요. 피트 단위로 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

The length of a 200 square foot rectangular vegetable garden is four feet less than twice the width. Find the length and width of the garden. Round to the nearest tenth of a foot.

정답·풀이 보기

채소밭의 너비는 11피트이고 길이는 18피트이다.

원본 교재 풀이(영어)

The width of the garden is 11 feet and the length is 18 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 7번
# 이차방정식활용자동 분류
372.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 8번우리말 번역

직사각형 모양 식탁보의 넓이는 80제곱피트입니다. 너비는 길이보다 5피트 짧습니다. 식탁보의 길이와 너비를 구하세요. 피트 단위로 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

A rectangular tablecloth has an area of 80 square feet. The width is 5 feet shorter than the length. What are the length and width of the tablecloth? Round to the nearest tenth of a foot.

정답·풀이 보기

식탁보의 너비는 6.8피트이고 길이는 11.8피트이다.

원본 교재 풀이(영어)

The width of the tablecloth is 6.8 feet and the length is 11.8 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 53번
# 이차방정식활용자동 분류
373.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 5번우리말 번역

폭죽이 처음 속도 초속 130 피트로 위로 발사됩니다. 높이 260 피트에 도달하는 데 몇 초가 걸리는지 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

A firework is shot upwards with initial velocity 130 feet per second. How many seconds will it take to reach a height of 260 feet? Round to the nearest tenth of a second.

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 구하려는 것은 시간인 초의 수이다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. t=t= 초의 수라 하자.
4단계. 식으로 나타낸다. 공식을 이용한다.
h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t\quad
5단계. 방정식을 푼다. 속도 v0{v}_{0} 은 초속 130 피트임을 안다.
높이는 260 피트이다. 값을 대입한다. 흰색 배경에 수식 '260 = -16t^2 + 130t'가 나타나 있다.
이차방정식이므로 일반형으로 고쳐 쓴다. 두 개의 이차방정식이 나타나 있다. 빨간색 글씨로 일반형 ax^2 + bx + c = 0이 있고, 이어서 검은색 글씨로 구체적인 예인 16t^2 - 130t + 260 = 0이 있다.
근의 공식을 이용하여 방정식을 푼다.
a, b, c 의 값을 찾는다. 흰색 배경에 변수와 그 값이 서로 다른 색으로 나타나 있다: a = 16, b = -130, c = 260.
근의 공식을 쓴다. 흰색 배경에 근의 공식이 나타나 있다. t는 분모 2a, 분자 -b 플러스마이너스 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근과 같다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. 근의 공식을 이용하여 t를 구하는 식이 나타나 있다. a는 16(하늘색), b는 -130(빨간색), c는 260(노란색)으로 대입되어 있으며, 이차방정식의 근을 구하는 과정이다.
간단히 한다. t를 구하는 식이 나타나 있다. 130 플러스마이너스 16,900과 16,640의 차의 제곱근을 더하거나 뺀 값 전체를 32로 나눈 식이다. 이 식은 이차방정식이나 통계 문제를 풀 때 흔히 쓰인다. 흰색 배경에 수식이 나타나 있다: t = (130 ± √260) / 32.
두 해가 드러나도록 다시 쓴다. t의 두 해가 각각 분수로 나타나 있다: (130 + sqrt(260))/32 와 (130 - sqrt(260))/32.
계산기로 답을 어림한다. t≈4.6\quad t\approx 4.6 초, t≈3.6t\approx 3.6
6단계. 답을 확인한다. 확인은 직접 해 보자.
7단계. 질문에 답한다. 폭죽은 올라갔다가 다시 떨어진다. 폭죽이 올라가면서 약 3.6초 후에 260 피트에 도달한다. 또한 내려오면서 4.6초에 그 높이를 지나간다. 선명한 폭죽이 위로 호를 그리며 올라가 주황색과 노란색 불꽃이 별 모양으로 터지는 모습이 깨끗한 흰색 배경 위에 나타나 있다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for the number of seconds, which is time.
Step 3. Name what we are looking for. Let t=t= the number of seconds.
Step 4. Translate into an equation. Use the formula.
h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t\quad
Step 5. Solve the equation. We know the velocity v0{v}_{0} is 130 feet per second.
The height is 260 feet. Substitute the values. A mathematical equation is displayed on a white background, which reads '260 = -16t^2 + 130t'.
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. Two quadratic equations are shown, with the general form ax^2 + bx + c = 0 in red text, followed by a specific example, 16t^2 - 130t + 260 = 0, in black text.
Solve the equation using the Quadratic Formula.
Identify the a, b, c values. The image displays the variables and their assigned numerical values: a = 16, b = -130, and c = 260, presented in different colors on a white background.
Write the Quadratic Formula. The quadratic formula, t equals negative b plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a, is displayed on a white background.
Then substitute in the values of a, b, c. A mathematical equation for 't' using the quadratic formula is displayed, with 'a' as 16 (light blue), 'b' as -130 (red), and 'c' as 260 (yellow), to find the roots of a quadratic equation.
Simplify. A mathematical equation for 't' involves 130 plus or minus the square root of the difference between 16,900 and 16,640, with the entire expression divided by 32. This formula is commonly used in solving quadratic equations or statistical problems. A mathematical equation is displayed on a white background: t = (130 ± √260) / 32.
Rewrite to show two solutions. Two mathematical solutions for 't' are presented, each as a fraction: (130 + sqrt(260))/32 and (130 - sqrt(260))/32.
Approximate the answers with a calculator. t≈4.6\quad t\approx 4.6 seconds, t≈3.6t\approx 3.6
Step 6. Check the answer. The check is left to you.
Step 7. Answer the question. The firework will go up and then fall back down. As the firework goes up, it will reach 260 feet after approximately 3.6 seconds. It will also pass that height on the way down at 4.6 seconds. A vivid firework traces an upward arc, exploding into a bright, starburst-like display of orange and yellow sparks against a clean white background.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 9번
# 이차방정식활용자동 분류
374.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 9번우리말 번역

화살이 땅에서 초기 속력 108 ft/sec 로 공중으로 발사됩니다. 공식 h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t 를 이용하여 화살이 지면으로부터 180 피트에 있게 되는 때를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요(단위: 초).

영어 원문 보기

An arrow is shot from the ground into the air at an initial speed of 108 ft/sec. Use the formula h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t to determine when the arrow will be 180 feet from the ground. Round the nearest tenth of a second.

정답·풀이 보기

화살은 올라가는 도중 3초에, 내려오는 도중 3.8초에 180 피트에 도달한다.

원본 교재 풀이(영어)

The arrow will reach 180 on its way up in 3 seconds, and on the way down in 3.8 seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.1절 · 9번
# 이차방정식활용자동 분류
375.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 10번우리말 번역

한 남자가 공을 96 ft/sec 의 속도로 공중에 던집니다. 공식 h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t 를 이용하여 공의 높이가 48 피트가 되는 때를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요(단위: 초).

영어 원문 보기

A man throws a ball into the air with a velocity of 96 ft/sec. Use the formula h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t to determine when the height of the ball will be 48 feet. Round to the nearest tenth of a second.

정답·풀이 보기

공은 올라가는 도중 .6초에, 내려오는 도중 5.5초에 48 피트에 도달한다.

원본 교재 풀이(영어)

The ball will reach 48 feet on its way up in .6 seconds and on the way down in 5.5 seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.5절 · 11번
# 이차방정식활용자동 분류
376.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 1번우리말 번역

연속하는 두 홀수의 곱이 255입니다. 두 수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive odd numbers is 255. Find the numbers.

정답·풀이 보기

곱이 255인 연속하는 두 홀수는 15와 17, 그리고 −15-15와 −17-17이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two consecutive odd numbers whose product is 255 are 15 and 17, and −15-15 and −17-17.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 3번
# 이차방정식계산자동 분류
377.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 2번우리말 번역

연속하는 두 짝수의 곱이 360입니다. 두 수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive even numbers is 360. Find the numbers.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 1번
# 이차방정식계산자동 분류
378.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 3번우리말 번역

연속하는 두 짝수의 곱이 624입니다. 두 수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive even numbers is 624. Find the numbers.

정답·풀이 보기

곱이 624인 연속하는 두 짝수는 24와 26, 그리고 −26-26과 −24-24이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two consecutive even numbers whose product is 624 are 24 and 26, and −26-26 and −24-24.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.5절 · 3번
# 이차방정식계산자동 분류
379.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 4번우리말 번역

연속하는 두 홀수의 곱이 1023입니다. 두 수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive odd numbers is 1023. Find the numbers.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 11번
# 이차방정식계산자동 분류
380.OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 5번우리말 번역

연속하는 두 홀수의 곱이 483입니다. 두 수를 구하세요.

영어 원문 보기

The product of two consecutive odd numbers is 483. Find the numbers.

정답·풀이 보기

곱이 483인 연속하는 두 홀수는 21과 23, 그리고 −21-21과 −23-23이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two consecutive odd numbers whose product is 483 are 21 and 23, and −21-21 and −23-23.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 4번
# 이차방정식계산자동 분류