다변수 미분 전체 연습문제

441.APEX · 12.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–22번에서, 주어진 함수와 $c$ 값에 대해 등위곡선을 말로 설명하고 그래프를 그리세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+4y^2$ ; $c = 1,2,3,4$

영어 원문 보기

In Exercises 15–22, describe in words and sketch the level curves for the function and given $c$ values.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+4y^2$ ; $c = 1,2,3,4$

정답·풀이 보기

등위곡선은 $\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c/4}=1$ 꼴의 타원이다. 즉 $a=\sqrt{c}$ 이고 $b=\sqrt{c}/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Level curves are ellipses of the form $\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c/4}=1$ , i.e., $a=\sqrt{c}$ and $b=\sqrt{c}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 1번

# 다변수함수와 등위곡선그래프·표 해석자동 분류

442.APEX · 12.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

정답·풀이 보기

정의역: $x+2y-4z\neq 0$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 원점을 지나는 평면을 이룬다.

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x+2y-4z\neq 0$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a plane through the origin.

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

443.APEX · 12.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 반지름이 1인 구를 이룬다.

치역: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a sphere of radius 1.

range: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 27번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

444.APEX · 12.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $z\geq x^2-y^2$ ; 쌍곡포물면 $z=x^2-y^2$ 위의 점과 그 위쪽에 있는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합이다.

치역: $[0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $z\geq x^2-y^2$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ above (and including) the hyperbolic paraboloid $z=x^2-y^2$ .

range: $[0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

445.APEX · 12.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^3$

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^3$

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 29번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

446.APEX · 12.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 다음 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

정답·풀이 보기

등위면은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are spheres, centered at the origin, with radius $\sqrt{c}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 11번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

447.APEX · 12.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2$

정답·풀이 보기

등위면은 $z=x^2-y^2+c$ 꼴의 쌍곡포물면이며, 각각 $c$ 만큼 위아래로 평행이동한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are hyperbolic paraboloids of the form $z=x^2-y^2+c$ ; each is shifted up/down by $c$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 53번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

448.APEX · 12.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}$

정답·풀이 보기

등위면은 $z=\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c}$ 꼴의 포물면이며, $c$ 가 클수록 포물면이 더 “넓어진다”.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are paraboloids of the form $z=\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c}$ ; the larger $c$ , the “wider” the paraboloid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 4번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

449.APEX · 12.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}$

정답·풀이 보기

등위면은 $cx-cy-z=0$ 꼴의 원점을 지나는 평면, 즉 법선벡터가 $\left\langle c,-c,-1\right\rangle$ 인 원점을 지나는 평면이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are planes through the origin of the form $cx-cy-z=0$ , that is, planes through the origin with normal vector $\left\langle c,-c,-1\right\rangle$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 5번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

450.APEX · 12.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

집합의 경계점과 내부의 점의 차이를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe in your own words the difference between boundary and interior points of a set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

451.APEX · 12.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (1,2)} f(x,y) = 17$ 이 무엇을 뜻하는지 자신의 말로 (비형식적으로) 설명하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to describe (informally) what $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (1,2)} f(x,y) = 17$ means.

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 답은 “ $(x,y)$ 가 $(1,2)$ 에 가까워지면 $f(x,y)$ 는 17에 가까워진다.”이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. One answer is “As $(x,y)$ gets close to $(1,2)$ , $f(x,y)$ gets close to 17.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 5번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

452.APEX · 12.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

닫힌집합이면서 유계인 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a closed, bounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | x^2+y^2\leq 1\}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | x^2+y^2\leq 1\}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 11번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

453.APEX · 12.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

닫힌집합이면서 유계가 아닌 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a closed, unbounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | y\geq x^2 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | y\geq x^2 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 2번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

454.APEX · 12.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

열린집합이면서 유계인 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a open, bounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | x^2+y^2<1 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | x^2+y^2<1 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 2번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

455.APEX · 12.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

열린집합이면서 유계가 아닌 집합의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a open, unbounded set.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

가능한 답의 하나: $\{(x,y) | y> x^2 \}$

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

One possible answer: $\{(x,y) | y> x^2 \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 24번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인자동 분류

456.APEX · 12.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어져 있다.

(a) 가능하면 $S$ 의 경계점 하나와 내부점 하나를 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 답하세요. (c) $S$ 가 유계인지 유계가 아닌지 답하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,\left| \, \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}\leq 1\right.\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,\left| \, \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}\leq 1\right.\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 다양하다.

내부점: $(1,3)$

경계점: $(3,3)$

(b) $S$ 는 닫힌집합이다

(c) $S$ 는 유계이다

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: $(1,3)$

boundary point: $(3,3)$

(b) $S$ is a closed set

(c) $S$ is bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

457.APEX · 12.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, y\neq x^2\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, y\neq x^2\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: $(-5,28)$

경계점: $(3,9)$

(b) $S$ 는 열린집합이다.

(c) $S$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: $(-5,28)$

boundary point: $(3,9)$

(b) $S$ is an open set

(c) $S$ is unbounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

458.APEX · 12.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: 없다.

경계점: $(0,-1)$

(b) $S$ 는 경계점으로만 이루어진 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: none

boundary point: $(0,-1)$

(b) $S$ is a closed set, consisting only of boundary points

(c) $S$ is bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 22번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

459.APEX · 12.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: $(0,1)$

경계점: $(0,0)$

(b) $S$ 는 경계점을 모두 포함하는 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

Interior point: $(0,1)$

Boundary point: $(0,0)$

(b) $S$ is a closed set, containing all of its boundary points.

(c) $S$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 12번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

460.APEX · 12.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음 물음에 답하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 설명하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 닫힌집합이다. (c) $D$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ . (b) $D$ is a closed set. (c) $D$ is bounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 24번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

다변수 미분 전체 문제