방향도함수와 기울기벡터 연습문제

41.OpenStax 3권 · 4.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 곡면의 주어진 점에서 다음 방정식을 구하세요.

a. 접평면과 b. 법선

등위면 $f(x,y,z)=12$ (단, $f(x,y,z)=4{x}^{2}-2{y}^{2}+{z}^{2}$ )의 점 $(2,2,2)$ 에서.

영어 원문 보기

For the following exercises, find equations of

a. the tangent plane and b. the normal line to the given surface at the given point.

The level surface $f(x,y,z)=12$ for $f(x,y,z)=4{x}^{2}-2{y}^{2}+{z}^{2}$ at point $(2,2,2).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 7번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 4.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 곡면의 주어진 점에서 다음 방정식을 구하세요.

a. 접평면과 b. 법선

$f(x,y,z)=xy+yz+xz=3$ 의 점 $(1,1,1)$ 에서.

영어 원문 보기

For the following exercises, find equations of

a. the tangent plane and b. the normal line to the given surface at the given point.

$f(x,y,z)=xy+yz+xz=3$ at point $(1,1,1)$

정답·풀이 보기

a. $x+y+z=3,$ b. $x-1=y-1=z-1$

원본 교재 풀이(영어)

a. $x+y+z=3,$ b. $x-1=y-1=z-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 48번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 4.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 주어진 곡면의

a. 접평면과 b. 법선

의 방정식을 구하세요.

점 $(1,2,3)$ 에서 $f(x,y,z)=xyz=6$

영어 원문 보기

For the following exercises, find equations of

a. the tangent plane and b. the normal line to the given surface at the given point.

$f(x,y,z)=xyz=6$ at point $(1,2,3)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 14번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 4.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 주어진 곡면의

a. 접평면과 b. 법선

의 방정식을 구하세요.

점 $(1,0,0)$ 에서 $f(x,y,z)=x{e}^{y}\cos \,z-z=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, find equations of

a. the tangent plane and b. the normal line to the given surface at the given point.

$f(x,y,z)=x{e}^{y}\cos \,z-z=1$ at point $(1,0,0)$

정답·풀이 보기

a. $x+y-z=1,$ b. $x-1=y=-z$

원본 교재 풀이(영어)

a. $x+y-z=1,$ b. $x-1=y=-z$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 44번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 4.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

공간의 어떤 영역에서 전위(전압)는 함수 $V(x,y,z)=5{x}^{2}-3xy+xyz$ 로 주어진다.

a. 점 $(3,4,5)$ 에서 벡터 $\langle 1,1,-1\rangle$ 의 방향으로의 전압의 변화율을 구하세요. b. 점 $(3,4,5)?$ 에서 전압은 어느 방향으로 가장 빠르게 변하는지 구하세요. c. 점 $(3,4,5)?$ 에서 전압의 최대 변화율은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The electrical potential (voltage) in a certain region of space is given by the function $V(x,y,z)=5{x}^{2}-3xy+xyz.$

a. Find the rate of change of the voltage at point $(3,4,5)$ in the direction of the vector $\langle 1,1,-1\rangle .$ b. In which direction does the voltage change most rapidly at point $(3,4,5)?$ c. What is the maximum rate of change of the voltage at point $(3,4,5)?$

정답·풀이 보기

a. $\frac{32}{\sqrt{3}},$ b. $\langle 38,6,12\rangle ,$ c. $2\sqrt{406}$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{32}{\sqrt{3}},$ b. $\langle 38,6,12\rangle ,$ c. $2\sqrt{406}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 18번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

46.APEX · 12.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

47.APEX · 12.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 28번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

48.APEX · 12.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 23번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

49.APEX · 12.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

5–8번 연습문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있습니다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요.

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 36번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

50.APEX · 12.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , at $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

51.APEX · 12.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , $P = (4,-3,\sqrt{5})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , at $P = (4,-3,\sqrt{5})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

52.APEX · 12.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , $P = (2,1,-1)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , at $P = (2,1,-1)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 13번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

53.APEX · 12.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , $P = (2, \pi/12, 4)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , at $P = (2, \pi/12, 4)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

54.CLP-3 · 2.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

점 $(0,1,1)$ 에서 $f(x,y,z) = e^{xyz}$ 의 $\left< 0,1,1\right>$ 방향의 방향미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the directional derivative of $f(x,y,z) = e^{xyz}$ in the $\left< 0,1,1\right>$ direction at the point $(0,1,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

임의의 점 $(x,y,z)$ 에서의 편도함수와 구하려는 점 $(0,1,1)$ 에서의 편미분계수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=yz e^{xyz}\qquad & f_x(0,1,1)&= 1 \\ f_y(x,y,z)&=xz e^{xyz}\qquad & f_y(0,1,1)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&=xy e^{xyz}\qquad & f_z(0,1,1)&= 0 \end{aligned}$

따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>$ 이고, 구하는 방향미분계수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}}}f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>\cdot\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}} =0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The partial derivatives, at a general point $(x,y,z)$ and also at the point of interest $(0,1,1)$ , are

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=yz e^{xyz}\qquad & f_x(0,1,1)&= 1 \\ f_y(x,y,z)&=xz e^{xyz}\qquad & f_y(0,1,1)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&=xy e^{xyz}\qquad & f_z(0,1,1)&= 0 \end{aligned}$

So ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>$ and the specified directional derivative is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}}}f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>\cdot\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}} =0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 16번

# 방향도함수와 기울기벡터계산기본자동 분류

55.CLP-3 · 2.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

${ \boldsymbol{\nabla} }\big(y^2 + \sin(xy)\big)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find ${ \boldsymbol{\nabla} }\big(y^2 + \sin(xy)\big)$ .

정답·풀이 보기

2차원에서 $g(x,y) = y^2+\sin(xy)$ 라 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy) \right> \end{aligned}$

3차원에서 $g(x,y,z) = y^2+\sin(xy)$ 라 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\,,\,g_z\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy)\,,\, 0 \right> \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In two dimensions, write $g(x,y) = y^2+\sin(xy)$ . Then

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy) \right> \end{aligned}$

In three dimensions, write $g(x,y,z) = y^2+\sin(xy)$ . Then

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\,,\,g_z\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy)\,,\, 0 \right> \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 15번

# 방향도함수와 기울기벡터계산기본자동 분류

56.CLP-3 · 2.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

주어진 점에서 주어진 방향으로 주어진 함수의 변화율을 구하세요.

(a) $f(x,y)=3x-4y$ , 점 $(0,2)$ , 방향 $-2\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . (b) $f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}$ , 점 $(2,-3,4)$ , 방향 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ .

영어 원문 보기

Find the rate of change of the given function at the given point in the given direction.

(a) $f(x,y)=3x-4y$ at the point $(0,2)$ in the direction $-2\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . (b) $f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}$ at $(2,-3,4)$ in the direction $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< 3,-4\right>$ 이다. 따라서 구하는 변화율은

$\left< 3,-4\right>\cdot\frac{\left< -2,0\right>}{|\left< -2,0\right>|}=-3$

(b) $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y,z)=\left< -x^{-2},-y^{-2},-z^{-2}\right>$ 이다. 특히 점 $(2,-3,4)$ 에서 $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,-3,4)=\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>$ 이다. 따라서 구하는 변화율은

$\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}= -\frac{61}{144\sqrt{3}}\approx-0.2446$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The gradient of $f$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< 3,-4\right>$ . So the specified rate of change is

$\left< 3,-4\right>\cdot\frac{\left< -2,0\right>}{|\left< -2,0\right>|}=-3$

(b) The gradient of $f$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y,z)=\left< -x^{-2},-y^{-2},-z^{-2}\right>$ . In particular, the gradient of $f$ at the point $(2,-3,4)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,-3,4)=\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>$ . So the specified rate of change is

$\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}= -\frac{61}{144\sqrt{3}}\approx-0.2446$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 14번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

57.CLP-3 · 2.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

점 $(2,0)$ 에서 함수 $f(x,y)=xy$ 가 주어진 변화율을 갖는 방향을 각각 구하세요.

(a) $-1$ (b) $-2$ (c) $-3$

영어 원문 보기

In what directions at the point $(2,0)$ does the function $f(x,y)=xy$ have the specified rates of change?

(a) $-1$ (b) $-2$ (c) $-3$

정답·풀이 보기

$f(x,y)$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< y,x\right>$ 이다. 특히 점 $(2,0)$ 에서 $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0)=\left< 0,2 \right>$ 이다. 따라서 $x$ 축과 이루는 각이 $\theta$ 인 방향, 즉 $\left< \cos\theta,\sin\theta\right>$ 방향으로의 변화율은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0) =\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot\left< 0, 2\right> =2\sin\theta$

이다.

(a) 변화율 $-1$ 을 얻으려면

$\sin\theta=-\frac{1}{2} \implies \theta=-30^\circ,\ -150^\circ$

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left<\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \right>$

이다.

(b) 변화율 $-2$ 를 얻으려면

$\sin\theta=-1 \implies \theta=-90^\circ$

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left< 0 ,-1 \right>$

이다.

(c) 변화율 $-3$ 을 얻으려면

$\sin\theta=-\frac{3}{2}$

이어야 한다.

모든 $\theta$ 에 대해 $-1\le\sin\theta\le 1$ 이므로 이를 만족하는 $\theta$ 는 없다. 따라서 알맞은 방향이 없다!

원본 교재 풀이(영어)

The gradient of $f(x,y)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< y,x\right>$ . In particular, the gradient of $f$ at the point $(2,0)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0)=\left< 0,2 \right>$ . So the rate of change in the direction that makes angle $\theta$ with respect to the $x$ -axis, that is, in the direction $\left< \cos\theta,\sin\theta\right>$ is

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0) =\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot\left< 0, 2\right> =2\sin\theta$

(a) To get a rate $-1$ , we need

$\sin\theta=-\frac{1}{2} \implies \theta=-30^\circ,\ -150^\circ$

So the desired directions are

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left<\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \right>$

(b) To get a rate $-2$ , we need

$\sin\theta=-1 \implies \theta=-90^\circ$

So the desired direction is

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left< 0 ,-1 \right>$

(c) To get a rate $-3$ , we need

$\sin\theta=-\frac{3}{2}$

No $\theta$ obeys this, since $-1\le\sin\theta\le 1$ for all $\theta$ . So no direction works!

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

58.CLP-3 · 2.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

방향미분계수가 다음과 같을 때 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)$ 를 구하세요.

$D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5$

영어 원문 보기

Find ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)$ given the directional derivatives

$D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5$

정답·풀이 보기

${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right>$ 라 하자. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{또는}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{또는}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}$

이다. 첫째 식의 4배를 둘째 식에 더하면 $7\alpha =49$ 이다. $\alpha =7$ 을 첫째 식에 대입하면 $\beta =-1$ 이다. 따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right>$ . We are told that

$\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{or}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{or}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}$

Adding 4 times the first equation to the second equation gives $7\alpha =49$ . Substituting $\alpha =7$ into the first equation gives $\beta =-1$ . So ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

59.CLP-3 · 2.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

당신은 지표면이 매끄러운 곳에 서 있습니다. 남쪽 방향의 기울기는 $4$ 이고 남동쪽 방향의 기울기는 $\sqrt{2}$ 입니다. 동쪽 방향의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a location where the surface of the earth is smooth. The slope in the southern direction is $4$ and the slope in the south–eastern direction is $\sqrt{2}$ . Find the slope in the eastern direction.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

양의 $y$ 축이 북쪽, 양의 $x$ 축이 동쪽을 향하고 현재 위치가 $x=y=0$ 인 좌표계를 사용한다. $(x,y)$ 에서 지표면의 고도를 $z(x,y)$ 라 하자. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}$

이다. 첫째 식에서 $z_y(0,0)=-4$ 이고 둘째 식에서

$\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}$

이다. 따라서 동쪽 방향의 기울기는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use a coordinate system with the positive $y$ –axis pointing north, with the positive $x$ –axis pointing east and with our current location being $x=y=0$ . Denote by $z(x,y)$ the elevation of the earth's surface at $(x,y)$ . We are told that

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}$

The first equation implies that $z_y(0,0)=-4$ and the second equation implies that

$\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}$

So the slope in the eastern direction is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 5번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

60.CLP-3 · 2.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

$w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 벡터 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이고, 그 방향으로의 방향미분계수의 값이 $3\sqrt{6}$ 이라고 가정하자.

(a) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 구하세요. (b) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 방향으로의 방향미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at a point $P$ is a maximum in the direction of the vector $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and the value of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ .

(a) Find the gradient vector of $w = f(x,y,z)$ at $P$ . (b) Find the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at $P$ in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$

정답·풀이 보기

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 로 $f$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 나타내자. 주어진 조건은 다음과 같다.

$f$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이므로, ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 는 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하다.
그 방향으로의 방향미분계수의 크기가 $3\sqrt{6}$ 이므로, $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(b) $f$ 의 점 $P$ 에서 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 방향으로의 방향미분계수는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Use ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ to denote the gradient vector of $f$ at $P$ . We are told that

directional derivative of $f$ at $P$ is a maximum in the direction $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , which implies that ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ is parallel to $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and
the magnitude of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ , which implies that $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ .

So

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) The directional derivative of $f$ at $P$ in the direction $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is

${ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 6번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류