빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

발산 판정법과 적분 판정법

일반항의 극한과 이상적분으로 급수의 수렴·발산을 판정한다(p급수 포함)

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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97문제 · 5 / 5쪽

81.APEX · 8.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23~32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수도 쓰세요.

∑n=4∞ln⁡nn−3\displaystyle \sum_{n=4}^\infty \frac{\ln n}{n-3}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=4∞ln⁡nn−3\displaystyle \sum_{n=4}^\infty \frac{\ln n}{n-3}

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞ln⁡nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {\ln n}{n} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞ln⁡nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {\ln n}{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 40번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
82.APEX · 8.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23~32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수도 쓰세요.

∑n=1∞1n2+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞1n2+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
83.APEX · 8.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 23~32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수도 쓰세요.

∑n=1∞1n+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\sqrt{n}}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞1n+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+\sqrt{n}}

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 3번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
84.APEX · 8.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하고, 비교에 사용한 급수를 쓰세요.

∑n=1∞n−10n2+10n+10\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-10}{n^2+10n+10}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞n−10n2+10n+10\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-10}{n^2+10n+10}

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
85.APEX · 8.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하고, 비교에 사용한 급수를 쓰세요.

∑n=1∞sin⁡(1/n)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin\big(1/n\big)

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞sin⁡(1/n)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin\big(1/n\big)

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n} 과 비교한다. lim⁡n→0sin⁡nn=1\displaystyle \lim_{n\to0}\frac{\sin n}{n} = 1 인 것과 마찬가지로, lim⁡n→∞sin⁡(1/n)1/n=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} = 1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n}. Just as lim⁡n→0sin⁡nn=1\displaystyle \lim_{n\to0}\frac{\sin n}{n} = 1, lim⁡n→∞sin⁡(1/n)1/n=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} = 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 4번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
86.APEX · 8.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하고, 비교에 사용한 급수를 쓰세요.

∑n=1∞n+5n3−5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+5}{n^3-5}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞n+5n3−5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+5}{n^3-5}

정답·풀이 보기

수렴한다; ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^2} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; compare to ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 41번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
87.APEX · 8.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하고, 비교에 사용한 급수를 쓰세요.

∑n=1∞n+3n2+17\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}+3}{n^2+17}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞n+3n2+17\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}+3}{n^2+17}

정답·풀이 보기

수렴한다; ∑n=1∞1n3/2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{3/2}} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; compare to ∑n=1∞1n3/2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{3/2}}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 18번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
88.APEX · 8.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–32에서 극한비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하고, 비교에 사용한 급수를 쓰세요.

∑n=1∞1n+100\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+100}

영어 원문 보기

In Exercises 23–32, use the Limit Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞1n+100\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+100}

정답·풀이 보기

발산한다; ∑n=1∞1n1/2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{1/2}} 과 비교한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n1/2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{1/2}}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 3번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
89.APEX · 8.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

∑n=1∞n22n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞n22n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}

정답·풀이 보기

수렴한다; 적분판정법

원본 교재 풀이(영어)

Converges; Integral Test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
90.APEX · 8.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

∑n=1∞1(2n+5)3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+5)^3}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞1(2n+5)3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+5)^3}

정답·풀이 보기

수렴한다; 적분판정법, pp-급수 판정법, 직접 비교판정법과 극한비교판정법을 모두 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; Integral Test, pp-Series Test, Direct & Limit Comparison Tests can all be used.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 10번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
91.APEX · 8.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 두 가지 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

∑n=1∞n!10n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞n!10n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n}

정답·풀이 보기

발산한다. nthn^\text{th} 항 판정법과 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the nthn^\text{th} Term Test and Direct Comparison Test can be used.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 2번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
92.APEX · 8.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

∑n=1∞ln⁡nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n!}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞ln⁡nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n!}

정답·풀이 보기

수렴한다; 수열 1/(n−1)!1/(n-1)! 과 직접 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; the Direct Comparison Test can be used with sequence 1/(n−1)!1/(n-1)!.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 50번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
93.APEX · 8.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

∑n=1∞13n+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞13n+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}

정답·풀이 보기

수렴한다; 수열 1/3n1/3^n 과 직접 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; the Direct Comparison Test can be used with sequence 1/3n1/3^n.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 44번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
94.APEX · 8.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

∑n=1∞n−210n+5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-2}{10n+5}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞n−210n+5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-2}{10n+5}

정답·풀이 보기

발산한다. nthn^\text{th} 항 판정법을 쓸 수 있고, 극한비교판정법(1/10과 비교)도 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the nthn^\text{th} Term Test can be used, along with the Limit Comparison Test (compare with 1/10).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 4번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
95.APEX · 8.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

∑n=1∞3nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞3nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}

정답·풀이 보기

발산한다. nthn^\text{th} 항 판정법을 쓸 수 있고, 적분판정법도 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the nthn^\text{th} Term Test can be used, along with the Integral Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
96.APEX · 8.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

∑n=1∞cos⁡(1/n)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞cos⁡(1/n)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}

정답·풀이 보기

발산한다. 수열 1/n1/\sqrt{n} 과 극한비교판정법을 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the Limit Comparison Test can be used with sequence 1/n1/\sqrt{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 32번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
97.APEX · 8.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n 이 수렴한다고 할 때, 다음 급수 중 어느 것이 수렴하는지, 수렴할 수도 있는지, 수렴하지 않는지 말하세요.

(a) ∑n=1∞ann\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n (b) ∑n=1∞anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1} (c) ∑n=1∞(an)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2 (d) ∑n=1∞nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n (e) ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}

영어 원문 보기

Given that ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n converges, state which of the following series converges, may converge, or does not converge.

(a) ∑n=1∞ann\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n (b) ∑n=1∞anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1} (c) ∑n=1∞(an)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2 (d) ∑n=1∞nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n (e) ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}

정답·풀이 보기

(a) 수렴한다. ann<an\frac{a_n}{n}<a_n 이므로 비교판정법을 쓴다. (b) 수렴한다. 원래 급수가 수렴하므로 lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n = 0 임을 안다. 따라서 충분히 큰 nn 에 대해 anan+1<ana_na_{n+1} < a_n 이다. (c) 수렴한다. (b)와 비슷한 논리로 (an)2<an(a_n)^2<a_n 이다. (d) 수렴할 수도 있다. 분명히 nan>anna_n > a_n 이지만, 그렇다고 해서 수렴하지 않는다는 뜻은 아니다. (e) 수렴하지 않는다. (b)의 논리와 nthn^{th} 항 판정법을 이용한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Converges; use Direct Comparison Test as ann<an\frac{a_n}{n}<a_n. (b) Converges; since original series converges, we know lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n = 0. Thus for large nn, anan+1<ana_na_{n+1} < a_n. (c) Converges; similar logic to part (b) so (an)2<an(a_n)^2<a_n. (d) May converge; certainly nan>anna_n > a_n but that does not mean it does not converge. (e) Does not converge, using logic from (b) and nthn^{th} Term Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)