벡터 미적분 전체 문제

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ 일 때 선적분의 피적분함수는 단순히 6 이다. $R$ 의 넓이는 $12\pi$ 이다.

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y,0\rangle$ 와 $\langle 0,x\rangle$ 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. $R$ 의 넓이는 $4/3$ 이다.

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y,0\rangle$, $\langle 0,x\rangle$, $\langle -y/2,x/2\rangle$ 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. $R$ 의 넓이는 $16/15$ 이다.

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ 를 택하면 간단히 한 뒤 피적분함수가 적당한 꼴이 된다. $R$ 의 넓이는 $41\pi/10$ 이다.

(a) $\operatorname{curl}\vec F = 1$ 이다. (b) $\operatorname{curl}\vec F\cdot \vec n = 1$ 이다. 여기서 $\vec n$ 은 $\mathcal{S}$ 에 수직인 단위벡터이다.

(a) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는 대략

$$(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)$$

이다.

(b) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는

$$(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)$$

이다.

(c) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 나뭇가지는 정지해 있고 속도는 모든 시각에서 0으로 유지된다. 시각 $10$ 에서, 그리고 사실 모든 시각에서 나뭇가지의 위치는 $(0\,,\,0)$ 이다.

$y$축 위의 모든 점에서 유체의 속도는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. 따라서 나뭇가지는 $y$축 위에 머물며 결과적으로 모든 시각에서 속도 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 갖는다. 시각 $10$ 에서 나뭇가지의 위치는

$$(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)$$

이다.

얼굴이 좌표계의 원점 $(0,0,0)$ 에 있도록 잡는다. 위치 $(x,y,z)$ 에 있는 벌은 얼굴에서 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 만큼 떨어져 있으며, $(-x,-y,-z)$ 방향으로 향한다. 따라서 벌 한 마리의 진행 방향을 나타내는 단위벡터는 $\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$ 이다. 이제 속도 벡터의 크기, 즉 벌의 속력만 구하면 된다.

친절한 벌의 속력은 얼굴까지의 거리인 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 에 반비례한다. (여러분에게 더 가까이 있는 벌일수록 더 흥분해서 윙윙거리며 날아온다.) 따라서 속력은 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해 $\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이다.

벌의 속도는 단위벡터 $\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$ 의 방향을 가지고, 어떤 양의 상수 $\alpha$ 에 대해 크기가 $\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이다. 즉, $$\mathbf{v}(x,y,z)=-\frac{\alpha}{{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$$

(a) $m=1$ 이므로 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$$\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다. 적분하면

$$\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. $\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이고, 따라서

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다. 다시 적분하면

$$\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}$$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (새로운) 어떤 상수 벡터이다. $\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로 $\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고, 따라서

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다.

(b) 입자는 $t=\pi/2$ 일 때 $x=\pi/2$ 이고, 이때

$$\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다.

(c) 시각 $t=0$ 부터 시각 $t=\pi/2$ 까지 한 일은

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$

이다.

반구의 일부분의 겉넓이를 구하려고 한다. 반구 위에서

$$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$$

이므로

$$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$$

이다. 극좌표로 나타내면 $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 원기둥 $x^2-ax+y^2=0$ 의 내부에 있는 반구 부분의 겉넓이를 구하려고 하는데, 이 원기둥의 방정식은 극좌표로 $r^2-ar\cos\theta=0$ 곧 $r=a\cos\theta$ 가 된다. 적분 영역의 위쪽 절반을 아래에 그렸다.

따라서

$$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$$

원기둥좌표계에서

$$x=r\cos\theta\qquad y=r\sin\theta\qquad z=z$$

이 좌표계에서 원기둥의 방정식 $x^2+y^2=2ay$ 는

$$r^2=2ar\sin\theta\qquad\text{또는}\qquad r=2a\sin\theta$$

가 된다. 즉 $r=f(\theta)$ 이고 $f(\theta) =2a\sin\theta$ 이다. 원기둥을 $\mathbf{r}(\theta,z) = x(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z(\theta,z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 로 매개화하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} x(\theta,z)&=f(\theta)\cos\theta=2a\sin\theta\cos\theta=a\sin2\theta\\ y(\theta,z)&=f(\theta)\sin\theta=2a\sin\theta\sin\theta=a(1-\cos2\theta)\\ z(\theta,z)&=z \end{aligned}$$

이 매개화에서

$$\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}=\hat{\mathbf{k}} &\implies \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} =-2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \\ &\implies \mathrm{d}S=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right|\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \end{aligned}$$

이제 적분 구간을 정해야 한다. 아래 왼쪽 그림은 원기둥을 위에서 본 모습이다.

그림에서 $0\le\theta\le\pi$ 임을 알 수 있다. 원뿔 $z^2=x^2+y^2=r^2$ (즉 $z=\pm r$) 과 원기둥 $r=2a\sin\theta$ 는 $z^2=r^2=4a^2\sin^2\theta$ 에서 만난다. 따라서 각각의 고정된 $\theta$ 에 대해 $z$ 는 $-2a\sin\theta$ 에서 $z=+2a\sin\theta$ 까지 변한다. (위 오른쪽 그림을 보라. $\theta$ 가 상수인 단면을 나타낸 것이다.) 마지막으로,

$$\begin{aligned} {\rm Area} &= \int_{|z|\le 2a\sin\theta}2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\int_{-2a\sin\theta}^{2a\sin\theta} \!\!\!\mathrm{d}z =8a^2\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta =8a^2\Big[-\cos\theta\Big]_0^\pi \\ &=16a^2 \end{aligned}$$

(a) 구면좌표를 사용하자. $S$ 는 원점을 중심으로 하는 반지름 $a$ 인 구면이므로 다음과 같이 매개화할 수 있다.

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,\varphi) &=a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} &=-a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} &= \phantom{-}a\cos\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\cos\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a\sin\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\pm\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \ \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \end{matrix}\right] \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\pm\Big(-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a^2\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ &=\mp a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \end{aligned}$$

바깥쪽 법선이 되려면 $+$ 부호를 택해야 하므로

$$\begin{aligned} \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ \mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= z(\theta,\varphi)\,\hat{\mathbf{k}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = a^3 \sin\varphi\cos^2\varphi\ \mathrm{d}\theta\,d\varphi \end{aligned}$$

이고,

$$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^3\int_0^\pi d\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \sin\varphi\,\cos^2\varphi\\ &=2\pi a^3 \int_0^\pi d\varphi \ \sin\varphi\,\cos^2\varphi =2\pi a^3\left[-\frac{1}{3}\cos^3\varphi\right]_0^\pi \\ &=\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$$

이다.

(b) 입체 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ 을 $V$ 라 하자.

$${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(0) +\frac{\partial }{\partial y}(0) +\frac{\partial }{\partial z}(z) =1$$

이므로 발산 정리에 의해

$$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \ \mathrm{d}V =\text{부피}(V) =\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$$

이다.