벡터 미적분 전체 연습문제

21.APEX · 14.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\vec F$ 의 특정한 한 점에서의 발산이 0이다. 이것은 $\vec F$ 가 비압축성이라는 뜻인가요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The divergence of a vector field $\vec F$ at a particular point is 0. Does this mean that $\vec F$ is incompressible? Why/why not?

정답·풀이 보기

아니요. 비압축성이려면 발산이 한 점에서만이 아니라 모든 점에서 0이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

No; to be incompressible, the divergence needs to be 0 everywhere, not just at one point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 19번

# 벡터장과 흐름선개념 확인자동 분류

22.APEX · 14.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 실제로 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때에는 벡터함수의 크기를 계산하게 된다.

영어 원문 보기

T/F: In practice, the evaluation of line integrals over vector fields involves computing the magnitude of a vector–valued function.

정답·풀이 보기

거짓. 다만 스칼라장에 대한 선적분에서는 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It is true for line integrals over scalar fields, though.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 6번

# 선적분개념 확인자동 분류

23.APEX · 14.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\vec F(x,y)$ 를 평면 위의 벡터장, $\vec r(t)$ 를 2차원 벡터함수라 하자. “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” 가 왜 “표기의 남용”인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $\vec F(x,y)$ be a vector field in the plane and let $\vec r(t)$ be a two–dimensional vector–valued function. Why is “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” an “abuse of notation”?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 입력은 평면 위의 점이어야 하며, 2차원 벡터가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The input of $\vec F$ should be a point in the plane, not a two dimensional vector.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 3번

# 선적분개념 확인자동 분류

24.APEX · 14.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a vector field.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참.

원본 교재 풀이(영어)

True.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

25.APEX · 14.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 스칼라장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a scalar field.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓.

원본 교재 풀이(영어)

False.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 5번

# 선적분개념 확인자동 분류

26.APEX · 14.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

"적당한 조건" 아래에서 $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ 이면 벡터장 $\vec F$ 에 대해 무엇을 결론지을 수 있는가?

영어 원문 보기

Under “reasonable conditions,” if $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ , what can we conclude about the vector field $\vec F$ ?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 가 보존적이라고 결론지을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We can conclude that $\vec F$ is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

27.APEX · 14.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 가 보존장이고 $C$ 가 닫힌 곡선이라 하자. $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ 이라고 결론지을 수 있는 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a conservative field and let $C$ be a closed curve. Why are we able to conclude that $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ ?

정답·풀이 보기

선적분의 기본 정리에 의해, $\vec F$ 가 보존장이므로 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ 이다. 여기서 $f$ 는 $\vec F$ 의 퍼텐셜 함수이고 $A$ 와 $B$ 는 각각 $C$ 의 시점과 종점이다. $C$ 가 닫힌 곡선이므로 $A = B$ 이고, 따라서 $f(B) - f(A) = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Line Integrals, since $\vec F$ is conservative, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ , where $f$ is a potential function for $\vec F$ and $A$ and $B$ are the initial and terminal points of $C$ , respectively. Since $C$ is a closed curve, $A = B$ , and hence $f(B) - f(A) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

28.APEX · 14.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장, $C$ 를 곡선이라 하자. 흐름은 $\vec F$ 가 $C$ _____ 진행하는 양의 척도이고, 플럭스는 $\vec F$ 가 $C$ _____ 진행하는 양의 척도이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C$ be a curve. Flow is a measure of the amount of $\vec F$ going _____ $C$ ; flux is a measure of the amount of $\vec F$ going _____ $C$ .

정답·풀이 보기

따라, 가로질러

원본 교재 풀이(영어)

along, across

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 3번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

29.APEX · 14.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

순환이란 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is circulation?

정답·풀이 보기

닫힌 곡선 $C$ 전체를 따라 흐르는 흐름의 척도이다.

원본 교재 풀이(영어)

It is the measure of flow around the entirety of a closed curve $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 5번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

30.APEX · 14.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

그린 정리는 비형식적으로 말하면, 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선을 따른 순환이 $R$ 전체에 걸친 _____ 의 합과 같다는 것이다.

영어 원문 보기

Green's Theorem states, informally, that the circulation around a closed curve that bounds a region $R$ is equal to the sum of _____ across $R$ .

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 회전, 즉 $\operatorname{curl} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

the curl of $\vec F$ , or $\operatorname{curl} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 2번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

31.APEX · 14.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

발산 정리는 비형식적으로 말하면, 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선을 가로지르는 바깥쪽 플럭스가 $R$ 전체에 걸친 _____ 의 합과 같다는 것이다.

영어 원문 보기

The Divergence Theorem states, informally, that the outward flux across a closed curve that bounds a region $R$ is equal to the sum of _____ across $R$ .

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 발산, 즉 $\operatorname{div} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

the divergence of $\vec F$ , or $\operatorname{div} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 6번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

32.APEX · 14.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장이라 하고, $C_1$ 과 $C_2$ 를 각각 점 $A$ 에서 시작하여 점 $B$ 에서 끝나는 것을 제외하고는 서로 만나지 않는 임의의 경로라 하자. _____ $=0$ 이면 $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec T\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec T\ ds$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C_1$ and $C_2$ be any nonintersecting paths except that each starts at point $A$ and ends at point $B$ . If _____ $=0$ , then $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec T\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec T\ ds$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{curl} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 4번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

33.APEX · 14.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장이라 하고, $C_1$ 과 $C_2$ 를 각각 점 $A$ 에서 시작하여 점 $B$ 에서 끝나는 것을 제외하고는 서로 만나지 않는 임의의 경로라 하자. _____ $=0$ 이면 $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C_1$ and $C_2$ be any nonintersecting paths except that each starts at point $A$ and ends at point $B$ . If _____ $=0$ , then $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{div} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{div} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 10번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

34.APEX · 14.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 있는 곡면이 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what an orientable surface is.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있으나, 일반적으로 “양면”과 같은 용어가 의미 있게 포함되어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary, though generally should meaningfully include terms like “two sided”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

35.APEX · 14.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 없는 곡면의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a non-orientable surface.

정답·풀이 보기

가능한 답은 많으며, 교재에서 든 예는 뫼비우스 띠이다.

원본 교재 풀이(영어)

Many possible answers exist; the one given by the book is the Mobius band.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

36.APEX · 14.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

평면에서 플럭스는 벡터장이 얼마나 많이 _____을(를) 가로질러 지나가는지를 나타내는 측정값이고, 공간에서 플럭스는 벡터장이 얼마나 많이 _____을(를) 가로질러 지나가는지를 나타내는 측정값이다.

영어 원문 보기

In the plane, flux is a measurement of how much of the vector field passes across a _____; in space, flux is a measurement of how much of the vector field passes across a _____.

정답·풀이 보기

곡선; 곡면

원본 교재 풀이(영어)

curve; surface

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 19번

# 면적분과 플럭스개념 확인자동 분류

37.APEX · 14.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

플럭스를 계산할 때 그 결과가 음수이면 무엇을 뜻하는가?

영어 원문 보기

When computing flux, what does it mean when the result is a negative number?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 일반적으로, 벡터장이 법선벡터와 같은 방향으로 곡면을 통과하는 양보다 법선벡터와 반대 방향으로 곡면을 통과하는 양이 더 많다는 뜻이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; in general, it means that more of the vector field passes through the surface opposite the direction of the normal vector than in the same direction of the normal vector.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 1번

# 면적분과 플럭스개념 확인자동 분류

38.APEX · 14.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면일 때, 법선벡터는 곡면의 _____을(를) 향하도록 택한다.

영어 원문 보기

When $\mathcal{S}$ is a closed surface, we choose the normal vector so that it points to the _____ of the surface.

정답·풀이 보기

바깥쪽

원본 교재 풀이(영어)

outside

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 2번

# 면적분과 플럭스개념 확인자동 분류

39.APEX · 14.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\mathcal{S}$ 가 평면이고 $\vec F$ 가 항상 $\mathcal{S}$ 에 평행하면, $\mathcal{S}$ 를 가로지르는 $\vec F$ 의 플럭스는 _____이다.

영어 원문 보기

If $\mathcal{S}$ is a plane, and $\vec F$ is always parallel to $\mathcal{S}$ , then the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ will be _____.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 3번

# 면적분과 플럭스개념 확인자동 분류

40.APEX · 14.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

발산 정리는 벡터장의 어떤 성질을 플럭스와 관련짓습니까?

영어 원문 보기

What property of a vector field does the Divergence Theorem relate to flux?

정답·풀이 보기

발산이다.

원본 교재 풀이(영어)

Divergence.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.7절 · 3번

# 발산 정리개념 확인자동 분류

벡터 미적분 전체 문제