벡터 미적분 전체 연습문제

421.APEX · 14.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형 위에 놓인 평면 $z=x+2y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+2y$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = \sqrt{6}/2$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = \sqrt{6}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

422.APEX · 14.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the circular disk, centered at the origin, with radius 2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

423.APEX · 14.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 반지름이 2인 두 원으로 둘러싸인 고리 모양 영역 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the annulus bounded by the circles, centered at the origin, with radius 1 and radius 2.

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정답·풀이 보기

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

424.APEX · 14.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 기술을 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원판 위에 있는 포물면 $z=x^2+y^2$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $z=x^2+y^2$ over the circular disk of radius 3 centered at the origin.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^3\int_0^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv= (37\sqrt{37}-1)\pi/6 \approx 117.319$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^3\int_0^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv= (37\sqrt{37}-1)\pi/6 \approx 117.319$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

425.APEX · 14.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 기술을 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ 인 삼각형 위에 있는 포물면 $z=x^2+y^2$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $z=x^2+y^2$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(0,1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$S = \int_0^1\int_0^1\sqrt{v^2+4u^2v^2+4v^4}\ du\ dv \approx 0.931$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = \int_0^1\int_0^1\sqrt{v^2+4u^2v^2+4v^4}\ du\ dv \approx 0.931$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

426.APEX · 14.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세우고, 계산 도구(공학 도구)를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 포물선 $y=1-x^2$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 영역 위에 있는 평면 $z=5x-y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the plane $z=5x-y$ over the region enclosed by the parabola $y=1-x^2$ and the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^1\int_{-1}^{1}\sqrt{(5u^2-2uv-5)^2+u^4+(1-u^2)^2}\ du\ dv \approx 7.084$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^1\int_{-1}^{1}\sqrt{(5u^2-2uv-5)^2+u^4+(1-u^2)^2}\ du\ dv \approx 7.084$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 5번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

427.APEX · 14.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하는 이중적분을 세운 다음, 공학 도구를 사용하여 그 값을 어림하세요.

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원판 위에 놓인 쌍곡 포물면 $z=x^2-y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, set up the double integral that finds the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ , then use technology to approximate its value.

$\mathcal{S}$ is the hyperbolic paraboloid $z=x^2-y^2$ over the circular disk of radius 1 centered at the origin.

정답·풀이 보기

$S =\int_0^1\int_{0}^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv = (5\sqrt{5}-1)\pi/6 \approx 5.330$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S =\int_0^1\int_{0}^{2\pi}\sqrt{v^2+4v^4}\ du\ dv = (5\sqrt{5}-1)\pi/6 \approx 5.330$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

428.APEX · 14.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

5–6번 문제에서는 밀도가 $\delta$ 인 얇은 판 모양의 재료를 나타내는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어진다. 각 얇은 판의 질량을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $-2\leq x\leq 2$ , $-3\leq y\leq 3$ 에서 평면 $f(x,y)=x+y$ 이고, $\delta(x,y,z) = z$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, a surface $\mathcal{S}$ that represents a thin sheet of material with density $\delta$ is given. Find the mass of each thin sheet.

$\mathcal{S}$ is the plane $f(x,y)=x+y$ on $-2\leq x\leq 2$ , $-3\leq y\leq 3$ , with $\delta(x,y,z) = z$ .

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$240\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$240\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 31번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

429.APEX · 14.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

5–6번 문제에서는 밀도가 $\delta$ 인 얇은 판 모양의 재료를 나타내는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어진다. 각 얇은 판의 질량을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 단위구이고, $\delta(x,y,z) = x+y+z+10$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, a surface $\mathcal{S}$ that represents a thin sheet of material with density $\delta$ is given. Find the mass of each thin sheet.

$\mathcal{S}$ is the unit sphere, with $\delta(x,y,z) = x+y+z+10$ .

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$40\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$40\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 53번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

430.APEX · 14.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어진다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 $0\leq x\leq 1$ , $1\leq y\leq 4$ 에서 평면 $f(x,y) = 3x+y$ 이고, $\vec F = \langle x^2,-z,2y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the plane $f(x,y) = 3x+y$ on $0\leq x\leq 1$ , $1\leq y\leq 4$ ; $\vec F = \langle x^2,-z,2y\rangle$ .

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$24$

원본 교재 풀이(영어)

$24$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 9번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

431.APEX · 14.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어진다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,5)$ 인 삼각형 위의 평면 $f(x,y) = 8-x-y$ 이고, $\vec F = \langle 3,1,2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the plane $f(x,y) = 8-x-y$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(1,5)$ ; $\vec F = \langle 3,1,2\rangle$ .

답 쓰고 채점

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$15$

원본 교재 풀이(영어)

$15$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 41번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

432.APEX · 14.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어진다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위원판 위의 포물면 $f(x,y) = x^2+y^2$ 이고, $\vec F = \langle 1,0,0\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $f(x,y) = x^2+y^2$ over the unit disk; $\vec F = \langle 1,0,0\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 49번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

433.APEX · 14.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위구면이고, $\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the unit sphere; $\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 42번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

434.APEX · 14.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 공간에서 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 정사각형이고( $\vec n$ 은 $y$ 성분이 양수가 되도록 택한다), $\vec F = \langle 0,-z,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the square in space with corners at $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ (choose $\vec n$ such that it has a positive $y$ -component); $\vec F = \langle 0,-z,y\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$-1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 10번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

435.APEX · 14.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 $y$ - $z$ 평면 위에서 중심이 $(0,1,1)$ 이고 반지름이 1인 원판이고( $\vec n$ 은 $x$ 성분이 양수가 되도록 택한다), $\vec F = \langle y,z,x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the disk in the $y$ - $z$ plane with radius 1, centered at $(0,1,1)$ (choose $\vec n$ such that it has a positive $x$ -component); $\vec F = \langle y,z,x\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 21번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

436.APEX · 14.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번은 여러분의 이해를 확인하기 위한 문제이며 계산이 필요하지 않다.

$\mathcal{S}$ 를 정의역 $D$ 를 둘러싸는 임의의 닫힌 곡면이라 하자. $\vec F_1 = \langle x,0,0\rangle$ 과 $\vec F_2=\langle y,y^2,z-2yz\rangle$ 를 생각하자.

이 두 벡터장은 분명히 서로 매우 다르다. 그런데도 $\mathcal{S}$ 를 지나는 각 장의 바깥쪽 전체 선속이 같은 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

Let $\mathcal{S}$ be any closed surface enclosing a domain $D$ . Consider $\vec F_1 = \langle x,0,0\rangle$ and $\vec F_2=\langle y,y^2,z-2yz\rangle$ .

These fields are clearly very different. Why is it that the total outward flux of each field across $\mathcal{S}$ is the same?

정답·풀이 보기

두 벡터장의 발산은 모두 1이다. 발산 정리에 의해 $\mathcal{S}$ 를 지나는 바깥쪽 전체 선속은 두 장 모두 $\iint_D 1\ dS$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Each field has a divergence of 1; by the Divergence Theorem, the total outward flux across $\mathcal{S}$ is $\iint_D 1\ dS$ for each field.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 32번

# 발산 정리계산자동 분류

437.APEX · 14.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24는 여러분의 이해를 시험하기 위한 것이며 계산이 필요하지 않습니다.

발산 정리는 특정한 이중적분과 특정한 삼중적분이 서로 같음을 보여 줍니다. 이중적분 대신 삼중적분을 계산하는 쪽을 택하게 되는 경우는 어떤 상황인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

The Divergence Theorem establishes equality between a particular double integral and a particular triple integral. What types of circumstances would lead one to choose to evaluate the triple integral over the double integral?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 가 여러 개의 매끄러운 곡면으로 이루어진 경우가 많다. 바깥쪽으로 나가는 전체 선속을 구하려면 이중적분을 여러 개 계산해야 할 수 있다. 각 이중적분마다 곡면의 매개변수화와 편도함수들의 외적 계산이 필요하다. 특히 벡터장의 발산은 대체로 계산하기 쉬우므로, 삼중적분 하나를 계산하는 편이 일이 더 적을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Often the closed surface $\mathcal{S}$ is composed of several smooth surfaces. To measure total outward flux, this may require evaluating multiple double integrals. Each double integral requires the parametrization of a surface and the computation of the cross product of partial derivatives. One triple integral may require less work, especially as the divergence of a vector field is generally easy to compute.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 19번

# 발산 정리계산자동 분류

438.APEX · 14.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24는 여러분의 이해를 시험하기 위한 것이며 계산이 필요하지 않습니다.

스토크스 정리는 특정한 선적분과 특정한 이중적분이 서로 같음을 보여 줍니다. 선적분 대신 이중적분을 계산하는 쪽을 택하게 되는 경우는 어떤 상황인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

Stokes' Theorem establishes equality between a particular line integral and a particular double integral. What types of circumstances would lead one to choose to evaluate the double integral over the line integral?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 닫힌 곡선 $C$ 가 여러 개의 매끄러운 곡선으로 이루어진 경우가 많다. 전체 순환을 구하려면 각 곡선을 따라 선적분을 계산해야 할 수 있다. 각 선적분마다 해당 곡선의 매개변수화가 필요하다. 하나의 이중적분(곧 면적분)을 계산하는 편이 일이 더 적을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Often the closed curve $C$ is composed of several smooth curves. To measure the total circulation, one may have to evaluate line integrals along each curve. Each line integral requires the parameterization of its curve. It may be less work to evaluate one single double (i.e., surface) integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 22번

# 발산 정리계산자동 분류

439.CLP-4 · 1.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

$C$ 가 $(1,2,3)$ 에서 $(2,4,5)$ 까지의 선분일 때, $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Compute $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ where $C$ is the line segment from $(1,2,3)$ to $(2,4,5)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C$ 를 매개변수로 나타내기 위해, 두 점 사이의 벡터가 $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ 임에 주목한다. 따라서 이 직선은 $0 \le t \le 1$ 에 대해 $(1,2,3)+t(1,2,2)$ 이다. 즉, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , 그리고 $z(t)=3+2t$ 이다.

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

To parametrize $C$ , we note the vector between the two points is $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ . So, the line is $(1,2,3)+t(1,2,2)$ for $0 \le t \le 1$ . That is, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , and $z(t)=3+2t$ .

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 23번

# 선적분계산보통자동 분류

440.CLP-4 · 1.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음에 대해 경로적분 $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

(a) $f(x,y,z)=x\cos z$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le t\le 1$ . (b) $f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , $1\le t\le 2$ .

영어 원문 보기

Evaluate the path integral $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ for

(a) $f(x,y,z)=x\cos z$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le t\le 1$ . (b) $f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , $1\le t\le 2$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t)\cos z(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t(\cos 0) \sqrt{1+4t^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{8}\frac{ {(1+4t^2)}^{3/2}}{3/2}\bigg|_0^1\\ &=\frac{5^{3/2}-1}{12} \end{aligned}$

(b) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_1^2 \frac{x(t)+y(t)}{y(t)+z(t)} \, \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_1^2 \frac{t+{2\over 3}t^{3/2}}{{2\over3}t^{3/2}+t} \sqrt{2+t}\,\mathrm{d}t =\frac{(2+t)^{3/2}}{3/2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{8-3^{3/2}}{3/2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In this case $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ . Hence

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t)\cos z(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t(\cos 0) \sqrt{1+4t^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{8}\frac{ {(1+4t^2)}^{3/2}}{3/2}\bigg|_0^1\\ &=\frac{5^{3/2}-1}{12} \end{aligned}$

(b) In this case $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ . Hence

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_1^2 \frac{x(t)+y(t)}{y(t)+z(t)} \, \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_1^2 \frac{t+{2\over 3}t^{3/2}}{{2\over3}t^{3/2}+t} \sqrt{2+t}\,\mathrm{d}t =\frac{(2+t)^{3/2}}{3/2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{8-3^{3/2}}{3/2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

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