벡터와 공간 전체 문제

시각 $t$ 에서 스키 선수의 위치를 $\big(x(t),y(t)\big)$ 로 나타내자. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안

$$\begin{aligned} y(t)&=h\big(x(t)\big) \\ \implies y'(t)&=h'\big(x(t)\big)\,x'(t) \\ \implies y''(t)&=h''\big(x(t)\big)\, x'(t)^2+h'\big(x(t)\big)\,x''(t) \end{aligned}$$

따라서 스키 선수의 속도 벡터와 가속도 벡터는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x'(t) \\ \mathbf{a}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x''(t) +\left< 0,h''\big(x(t)\big)\right> x'(t)^2 \end{aligned}$$

스키 선수에게는 두 힘이 작용한다. 하나는 중력이다. 다른 하나는 언덕에 수직으로 작용하며, 스키 선수가 언덕 표면 위에 머물도록 하는 크기를 가진다. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안에는 속도 벡터가 언덕에 접하므로, 이 속도 벡터로부터 $\big(x(t),y(t)\big)$ 에서 언덕에 수직인 벡터 하나가 $$\mathbf{n}(t)=\left<-h'\big(x(t)\big),1\right>$$ 임을 알 수 있다. 이 벡터는 단위벡터가 아니지만 상관없다. 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$$m\mathbf{a}=-mg\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+p(t)\,\mathbf{n}(t)$$

이다. 여기서 $p(t)$ 는 어떤 함수이다. 이 등식의 양변에 $\mathbf{n}(t)$ 를 내적한다.

$$m\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{n}(t)=-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\mathbf{n}(t)+p(t)|\mathbf{n}(t)|^2$$

대입하면

$$\begin{aligned} mh''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2&=-mg+p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] \\ \implies p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] &=m\Big(g+h''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2\Big) \end{aligned}$$

이다. $p(t)\ge 0$ 인 동안에는 언덕이 스키 선수를 표면 위에 머물게 하려고 위로 밀고 있다. $p(t)$ 가 음수가 되면 언덕이 스키 선수를 표면에 붙잡아 두기 위해 잡아당겨야 한다. 그러나 언덕은 잡아당길 수 없으므로 스키 선수는 대신 공중으로 떠오른다. 이는

$$g+h''\big(x(t)\big)x'(t)^2=0$$

일 때 일어난다. 즉 $x'(t)=\sqrt{-g/h''\big(x(t)\big)}$ 일 때이다. 이때 $x(t)=x_0$, $y(t)=y_0$ 이고 스키 선수의 속력은

$$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} =\sqrt{1+h'\big(x_0\big)^2}\sqrt{-g/h''\big(x_0\big)}$$

이다.

(a) 삼각형의 한 변은 $\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right>$ 이다. 삼각형의 다른 한 변은 $\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right>$ 이다. $\overrightarrow{AB}$ 와 $\overrightarrow{AC}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하고 $\overrightarrow{AB}$ 를 삼각형의 밑변으로 잡으면, 삼각형의 밑변의 길이는 $b=|\overrightarrow{AB}|$ 이고 높이는 $h=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$ 이므로

$$\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|$$

그런데

$$\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}$$

이므로

$$\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658$$

이다.

(b) 삼각형을 포함하는 평면에 수직인 단위벡터는

$$\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}$$

이다.

$P$ 에서 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리는 $\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right>$ 을 $\hat{\mathbf{n}}$ 위로 정사영한 벡터의 길이와 같다. $\overrightarrow{AP}$ 와 $\hat{\mathbf{n}}$ 이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 이 길이는 다음과 같다.

$$\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045$$

(a) $z=6u$, $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$, $x=\frac{yz}{18}=u^3$ 이므로

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$$

$$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$$

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $$\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$ 특히 입자가 시각 $t_1$ 에 $(1,3,6)$ 에 있으면 $u(t_1)=1$ 이고 $$6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ 이다.

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$$ 특히

$$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$$

간단히 하면 $$3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$$

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 따라

$$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$$

한 번 적분하면

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

두 번째로 적분하면

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

(b) 입자가 평면 $x=0$ 위에 있는 때는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$$

따라서 구하는 시각은 $t=\pi$ 이다.

(c) 시각 $t=\pi$ 에서의 속도는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

(a) $C$ 를 $x$ 로 매개화한다. $y=x^2$ 이고 $z=\frac{2}{3}x^3$ 이므로,

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2\\ \end{aligned}$$

이고 $$\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$$

(b) 입자는 $\frac{7}{2}$ 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 움직였다. 따라서 속력은 $\frac{21}{7/2}=6$ 이다.

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $$\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$ (a), (b)의 결과와 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)에 의해 $$6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$$ 특히 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때는 $x=1$ 이다. 이때 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ 이고 $$\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$$

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 $$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$$ $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 적용하면 $$0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$$ 특히 $x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ 일 때, $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 에서 $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ 이고 $$\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$$