빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

외적

외적으로 수직인 벡터, 평행사변형 넓이, 평행육면체 부피, 토크를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

11문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 2.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있습니다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분 형태로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

u=⟨2,0,0⟩,\text{u}=\langle 2,0,0\rangle , v=⟨2,2,0⟩\text{v}=\langle 2,2,0\rangle

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

u=⟨2,0,0⟩,\text{u}=\langle 2,0,0\rangle , v=⟨2,2,0⟩\text{v}=\langle 2,2,0\rangle

정답·풀이 보기

a. u × v=⟨0,0,4⟩;\text{u}\,\times \,\text{v}=\langle 0,0,4\rangle ;

b. 이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간을 나타낸다. x축 위에 "u"라고 표시된 벡터가 있다. xy평면 위에 "v"라고 표시된 벡터가 있다. z축 위에 "u 외적 v"라고 표시된 벡터가 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. u × v=⟨0,0,4⟩;\text{u}\,\times \,\text{v}=\langle 0,0,4\rangle ;

b. This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. On the x-axis there is a vector labeled “u.” In the x y-plane there is a vector labeled “v.” On the z-axis there is the vector labeled “u cross v.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 5번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 2.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분 형태로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

u=⟨3,2,−1⟩,\text{u}=\langle 3,2,-1\rangle , v=⟨1,1,0⟩\text{v}=\langle 1,1,0\rangle

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

u=⟨3,2,−1⟩,\text{u}=\langle 3,2,-1\rangle , v=⟨1,1,0⟩\text{v}=\langle 1,1,0\rangle

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 17번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 2.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있습니다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분 형태로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

u=2i+3j,\text{u}=2\text{i}+3\text{j}, v=j+2k\text{v}=\text{j}+2\text{k}

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

u=2i+3j,\text{u}=2\text{i}+3\text{j}, v=j+2k\text{v}=\text{j}+2\text{k}

정답·풀이 보기

a. u × v=⟨6,−4,2⟩;\text{u}\,\times \,\text{v}=\langle 6,-4,2\rangle ;

b. 이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간을 나타내며 세 벡터를 보여 준다. 첫 번째 벡터는 u로 표시되어 있고 성분은 <2, 3, 0>이다. 두 번째 벡터는 v로 표시되어 있고 성분은 <0, 1, 2>이다. 세 번째 벡터는 u 외적 v로 표시되어 있고 성분은 <6, -4, 2>이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. u × v=⟨6,−4,2⟩;\text{u}\,\times \,\text{v}=\langle 6,-4,2\rangle ;

b. This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system and shows three vectors. The first vector is labeled u and has components <2, 3, 0>. The second vector is labeled v and has components <0, 1, 2>.” The third vector is labeled u cross v and has components <6, -4, 2>.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 1번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 3권 · 2.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분 형태로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

u=2j+3k,\text{u}=2\text{j}+3\text{k}, v=3i+k\text{v}=3\text{i}+\text{k}

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

u=2j+3k,\text{u}=2\text{j}+3\text{k}, v=3i+k\text{v}=3\text{i}+\text{k}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 17번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 3권 · 2.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분 형태로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

(i × i−2i × j−4i × k+3j × k) × i(\text{i}\,\times \,\text{i}-2\text{i}\,\times \,\text{j}-4\text{i}\,\times \,\text{k}+3\text{j}\,\times \,\text{k})\,\times \,\text{i} 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

Simplify (i × i−2i × j−4i × k+3j × k) × i.(\text{i}\,\times \,\text{i}-2\text{i}\,\times \,\text{j}-4\text{i}\,\times \,\text{k}+3\text{j}\,\times \,\text{k})\,\times \,\text{i}.

정답·풀이 보기

−2j−4k-2\text{j}-4\text{k}

원본 교재 풀이(영어)

−2j−4k-2\text{j}-4\text{k}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 4번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 3권 · 2.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 가 주어져 있습니다.

a. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 구하세요. 답을 성분형으로 나타내세요. b. 벡터 u,v\text{u},\text{v} 와 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 를 그리세요.

j × (k × j+2j × i−3j × j+5i × k)\text{j}\,\times \,(\text{k}\,\times \,\text{j}+2\text{j}\,\times \,\text{i}-3\text{j}\,\times \,\text{j}+5\text{i}\,\times \,\text{k}) 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, the vectors u\text{u} and v\text{v} are given.

a. Find the cross product u × v\text{u}\,\times \,\text{v} of the vectors u\text{u} and v.\text{v}. Express the answer in component form. b. Sketch the vectors u,v,\text{u},\text{v}, and u × v.\text{u}\,\times \,\text{v}.

Simplify j × (k × j+2j × i−3j × j+5i × k).\text{j}\,\times \,(\text{k}\,\times \,\text{j}+2\text{j}\,\times \,\text{i}-3\text{j}\,\times \,\text{j}+5\text{i}\,\times \,\text{k}).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 51번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 3권 · 2.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

점 A(α,0,0),B(0,β,0)A(\alpha ,0,0),B(0,\beta ,0), 그리고 C(0,0,γ)C(0,0,\gamma ) 를 생각하세요. 여기서 α,\alpha , β\beta , 그리고 γ\gamma 는 양의 실수입니다.

a. 이웃하는 세 변이 OA⃗,\vec{OA}, OB⃗\vec{OB}, 그리고 OC⃗\vec{OC} 인 평행육면체의 부피를 구하세요. b. 꼭짓점이 O,A,B, 그리고 CO,A,B,\,\text{그리고}\,C 인 사면체의 부피를 구하세요. (힌트: 사면체의 부피는 평행육면체 부피의 1/61/6 입니다.) c. 원점에서 A,B, 그리고 CA,B,\,\text{그리고}\,C 로 결정되는 평면까지의 거리를 구하세요. 평행육면체와 사면체를 그림으로 그리세요.

영어 원문 보기

Consider points A(α,0,0),B(0,β,0),A(\alpha ,0,0),B(0,\beta ,0), and C(0,0,γ),C(0,0,\gamma ), with α,\alpha , β,\beta , and γ\gamma positive real numbers.

a. Determine the volume of the parallelepiped with adjacent sides OA⃗,\vec{OA}, OB⃗,\vec{OB}, and OC⃗.\vec{OC}. b. Find the volume of the tetrahedron with vertices O,A,B, and C.O,A,B,\,\text{and}\,C. (Hint: The volume of the tetrahedron is 1/61/6 of the volume of the parallelepiped.) c. Find the distance from the origin to the plane determined by A,B, and C.A,B,\,\text{and}\,C. Sketch the parallelepiped and tetrahedron.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 37번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 3권 · 2.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 영벡터가 아닌 두 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 크기를 알고 있다고 하자. 함수 f(θ)=∥u∥∥v∥sin⁡ θf(\theta )=\| \text{u}\| \| \text{v}\| \sin \,\theta 는 외적 벡터 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 의 크기를 나타낸다. 여기서 θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi ] 는 u 그리고 v\text{u}\,\text{그리고}\,\text{v} 가 이루는 각이다.

a. 함수 ff 의 그래프를 그리세요. b. 함수 ff 의 최솟값과 최댓값을 구하세요. 결과를 해석하세요. c. ∥u∥=5\| \text{u}\| =5 이고 ∥v∥=2\| \text{v}\| =2 일 때, 두 벡터의 외적 벡터의 크기가 99 이면 u 그리고 v\text{u}\,\text{그리고}\,\text{v} 가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Assume that the magnitudes of two nonzero vectors u\text{u} and v\text{v} are known. The function f(θ)=∥u∥∥v∥sin⁡ θf(\theta )=\| \text{u}\| \| \text{v}\| \sin \,\theta defines the magnitude of the cross product vector u × v,\text{u}\,\times \,\text{v}, where θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi ] is the angle between u and v.\text{u}\,\text{and}\,\text{v}.

a. Graph the function f.f. b. Find the absolute minimum and maximum of function f.f. Interpret the results. c. If ∥u∥=5\| \text{u}\| =5 and ∥v∥=2,\| \text{v}\| =2, find the angle between u and v\text{u}\,\text{and}\,\text{v} if the magnitude of their cross product vector is equal to 9.9.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 43번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 3권 · 2.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 정비공이 12인치 렌치로 볼트를 돌린다. 렌치는 수평선과 30∘30^\circ 의 각을 이룬다. 정비공이 렌치 손잡이에 수직 방향으로 1010 파운드의 힘을 가한다면, 점 PP 에서의 토크의 크기는 얼마인지 구하세요(다음 그림 참조). 답을 피트파운드 단위로 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

이 그림은 오픈엔드 렌치를 나타낸 것이다. 렌치의 아래쪽 끝부분이 점 P에 있다. 렌치의 길이는 “12 인치”이다. 렌치가 P에서 그은 수평선과 이루는 각은 30도이다. 렌치의 위쪽 끝에는 아래 방향의 수직 벡터가 있고 “10 파운드”라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] A mechanic uses a 12-in. wrench to turn a bolt. The wrench makes a 30∘30^\circ angle with the horizontal. If the mechanic applies a vertical force of 1010 lb on the wrench handle, what is the magnitude of the torque at point PP (see the following figure)? Express the answer in foot-pounds rounded to two decimal places.

This figure is the image of an open-end wrench. The lower portion of the wrench is at point P. The wrench has a length of “12 I n.” The angle the wrench makes with a horizontal line from P is 30 degrees. At the top of the wrench is a downward vertical vector labeled “10 l b.”

정답·풀이 보기

8.66 ft-lb

원본 교재 풀이(영어)

8.66 ft-lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 1번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 3권 · 2.4절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 한 소년이 자전거의 6인치 크랭크가 수평선과 40∘40^\circ 의 각을 이룰 때 페달에 2020 파운드의 힘을 아래쪽으로 가하여 브레이크를 작동시킨다(다음 그림 참조). 점 PP에서의 토크를 구하세요. 답을 피트파운드 단위로 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

이 그림은 자전거의 페달, 크랭크, 체인을 나타낸 것이다. 크랭크를 따라 위쪽 페달까지의 거리는 6인치이다. 크랭크는 수평선과 40도의 각을 이루며, 이 각은 뒤쪽을 향해 잰 것이다. 위쪽 페달에는 아래 방향의 벡터가 있고 “20 파운드”라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] A boy applies the brakes on a bicycle by applying a downward force of 2020 lb on the pedal when the 6-in. crank makes a 40∘40^\circ angle with the horizontal (see the following figure). Find the torque at point P.P. Express your answer in foot-pounds rounded to two decimal places.

This figure shows the pedals, cranks, and chain of a bicycle. The distance along the crank to the top pedal is 6 in. The angle of the crank is 40 degrees with the horizontal, measured toward the rear. The top pedal has a downward vector labeled “20 lb”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 33번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 3권 · 2.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

어떤 집의 지붕에 태양 전지판이 설치되어 있다. 이 패널은 좌표(미터 단위)가 A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), D(0,0,8)D(0,0,8) 인 점에 놓여 있다고 볼 수 있다(다음 그림 참조).

이 그림은 지붕 위에 놓인 직사각형 모양의 태양 전지판을 나타낸다. 꼭짓점에는 "A, B, C, D"라고 표시되어 있다. 또 A에서 D로 향하는 벡터가 그려져 있다. 직사각형의 아랫변을 따라 A에서 B로 향하는 또 다른 벡터가 있다.

a. 태양 전지판의 면에 수직인 벡터 n=AB⃗ × AD⃗\text{n}=\vec{AB}\,\times \,\vec{AD} 를 구하세요. 답은 표준 단위벡터를 사용하여 나타내세요. b. 하루 중 특정 시각에 단위벡터 s=13i+13j+13k\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k} 가 태양을 향하고, 태양 에너지의 흐름이 F=900s\text{F}=900\text{s} (단위: 제곱미터당 와트 [W/m2{\text{W/m}}^{2}])라고 하자. 벡터 F\text{F} 와 n\text{n} 의 내적으로 주어지는, 패널이 생산할 수 있는 전력의 예상량(와트 단위)을 구하세요. c. 태양 전지판에 대한 태양의 고도각을 구하세요. 답은 도 단위로 반올림하여 정수로 나타내세요. (힌트: 벡터 n\text{n} 과 s\text{s} 사이의 각과 고도각은 서로 여각이다.)

영어 원문 보기

A solar panel is mounted on the roof of a house. The panel may be regarded as positioned at the points of coordinates (in meters) A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), and D(0,0,8)D(0,0,8) (see the following figure).

This figure shows a rectangular set of solar panels on a roof. The corners are labeled “A, B, C, D.” Also there is a vector drawn from A to D. There is another vector along the bottom of the rectangle from A to B.

a. Find vector n=AB⃗ × AD⃗\text{n}=\vec{AB}\,\times \,\vec{AD} perpendicular to the surface of the solar panels. Express the answer using standard unit vectors. b. Assume unit vector s=13i+13j+13k\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k} points toward the Sun at a particular time of the day and the flow of solar energy is F=900s\text{F}=900\text{s} (in watts per square meter [W/m2{\text{W/m}}^{2}]). Find the predicted amount of electrical power the panel can produce, which is given by the dot product of vectors F\text{F} and n\text{n} (expressed in watts). c. Determine the angle of elevation of the Sun above the solar panel. Express the answer in degrees rounded to the nearest whole number. (Hint: The angle between vectors n\text{n} and s\text{s} and the angle of elevation are complementary.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 39번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)