외적 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 2.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

$\text{u}=\text{i}+7\text{j}-\text{k}$ 이고 $\text{v}=\alpha \text{i}+5\text{j}+\text{k}$ 일 때, 어떤 실수 $\alpha$ 에 대해서도 $\text{u}\,\times \,\text{v}$ 와 $2\text{i}-14\text{j}+2\text{k}$ 가 서로 수직일 수 없음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\text{u}\,\times \,\text{v}$ and $2\text{i}-14\text{j}+2\text{k}$ cannot be orthogonal for any $\alpha$ real number, where $\text{u}=\text{i}+7\text{j}-\text{k}$ and $\text{v}=\alpha \text{i}+5\text{j}+\text{k}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

2.OpenStax 3권 · 2.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

$\text{u}$ 와 $\text{v}$ 가 영벡터가 아닌 벡터일 때, $\text{u}\,\times \,\text{v}$ 가 $\text{u}+\text{v}$ 및 $\text{u}-\text{v}$ 와 각각 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\text{u}\,\times \,\text{v}$ is orthogonal to $\text{u}+\text{v}$ and $\text{u}-\text{v},$ where $\text{u}$ and $\text{v}$ are nonzero vectors.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

3.OpenStax 3권 · 2.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

$\text{u}$ 와 $\text{v}$ 가 영벡터가 아닌 벡터일 때, $\text{v}\,\times \,\text{u}$ 가 $(\text{u}\cdot \text{v})(\text{u}+\text{v})+\text{u}$ 와 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\text{v}\,\times \,\text{u}$ is orthogonal to $(\text{u}\cdot \text{v})(\text{u}+\text{v})+\text{u},$ where $\text{u}$ and $\text{v}$ are nonzero vectors.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

4.OpenStax 3권 · 2.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

영벡터가 아닌 두 벡터 $\text{u}$ 와 $\text{v}$ 가 이루는 각의 사인과 코사인을 이용하여 라그랑주의 항등식 ${\| \text{u}\,\times \,\text{v}\| }^{2}={\| \text{u}\| }^{2}{\| \text{v}\| }^{2}-{(\text{u}\cdot \text{v})}^{2}$ 이 성립함을 증명하세요.

영어 원문 보기

Use the sine and cosine of the angle between two nonzero vectors $\text{u}$ and $\text{v}$ to prove Lagrange’s identity: ${\| \text{u}\,\times \,\text{v}\| }^{2}={\| \text{u}\| }^{2}{\| \text{v}\| }^{2}-{(\text{u}\cdot \text{v})}^{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

5.OpenStax 3권 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

영벡터가 아닌 두 벡터 $\text{u}$ 와 $\text{v}$ 에 대하여 $\text{v}=\alpha \text{u}$ 를 만족시키는 0이 아닌 스칼라 $\alpha$ 가 존재하면 두 벡터를 *평행(공선)*이라고 한다. $\text{u}$ 와 $\text{v}$ 가 평행일 필요충분조건이 $\text{u}\,\times \,\text{v}=0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Nonzero vectors $\text{u}$ and $\text{v}$ are called collinear if there exists a nonzero scalar $\alpha$ such that $\text{v}=\alpha \text{u}.$ Show that $\text{u}$ and $\text{v}$ are collinear if and only if $\text{u}\,\times \,\text{v}=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

6.OpenStax 3권 · 2.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

0이 아닌 벡터 $\text{u}$ 와 $\text{v}$ 에 대해 $\text{v}=\alpha \text{u}$ 를 만족하는 0이 아닌 스칼라 $\alpha$ 가 존재할 때, 두 벡터를 공선이라고 한다. $A(4,1,0),$ $B(6,5,-2),$ $C(5,3,-1)$ 일 때, 벡터 $\vec{AB}$ 와 $\vec{AC}$ 가 공선임을 보이세요.

영어 원문 보기

Nonzero vectors $\text{u}$ and $\text{v}$ are called collinear if there exists a nonzero scalar $\alpha$ such that $\text{v}=\alpha \text{u}.$ Show that vectors $\vec{AB}$ and $\vec{AC}$ are collinear, where $A(4,1,0),$ $B(6,5,-2),$ and $C(5,3,-1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

7.OpenStax 3권 · 2.4절 · 39번대학 수준우리말 번역

$\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w}$ 를 3차원 벡터라 하고 $c$ 를 실수라 하자. 외적의 다음 성질을 증명하세요.

a. $\text{u}\,\times \,\text{u}=0$ b. $\text{u}\,\times \,(\text{v}+\text{w})=(\text{u}\,\times \,\text{v})+(\text{u}\,\times \,\text{w})$ c. $c(\text{u}\,\times \,\text{v})=(c\text{u})\,\times \,\text{v}=\text{u}\,\times \,(c\text{v})$ d. $\text{u}\cdot (\text{u}\,\times \,\text{v})=0$

영어 원문 보기

Let $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w}$ be three-dimensional vectors and $c$ be a real number. Prove the following properties of the cross product.

a. $\text{u}\,\times \,\text{u}=0$ b. $\text{u}\,\times \,(\text{v}+\text{w})=(\text{u}\,\times \,\text{v})+(\text{u}\,\times \,\text{w})$ c. $c(\text{u}\,\times \,\text{v})=(c\text{u})\,\times \,\text{v}=\text{u}\,\times \,(c\text{v})$ d. $\text{u}\cdot (\text{u}\,\times \,\text{v})=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

8.OpenStax 3권 · 2.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

벡터 $\text{u}=\langle 1,0,-8\rangle ,$ $\text{v}=\langle 0,1,6\rangle$ 와 $\text{w}=\langle -1,9,3\rangle$ 가 외적의 다음 성질을 만족시킴을 보이세요.

a. $\text{u}\,\times \,\text{u}=0$ b. $\text{u}\,\times \,(\text{v}+\text{w})=(\text{u}\,\times \,\text{v})+(\text{u}\,\times \,\text{w})$ c. $c(\text{u}\,\times \,\text{v})=(c\text{u})\,\times \,\text{v}=\text{u}\,\times \,(c\text{v})$ d. $\text{u}\cdot (\text{u}\,\times \,\text{v})=0$

영어 원문 보기

Show that vectors $\text{u}=\langle 1,0,-8\rangle ,$ $\text{v}=\langle 0,1,6\rangle ,$ and $\text{w}=\langle -1,9,3\rangle$ satisfy the following properties of the cross product.

a. $\text{u}\,\times \,\text{u}=0$ b. $\text{u}\,\times \,(\text{v}+\text{w})=(\text{u}\,\times \,\text{v})+(\text{u}\,\times \,\text{w})$ c. $c(\text{u}\,\times \,\text{v})=(c\text{u})\,\times \,\text{v}=\text{u}\,\times \,(c\text{v})$ d. $\text{u}\cdot (\text{u}\,\times \,\text{v})=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

9.OpenStax 3권 · 2.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

영벡터가 아닌 벡터 $\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w}$ 중 하나가 나머지 두 벡터의 일차결합일 때, 이 벡터들은 일차종속이라고 한다. 예를 들어, 0이 아닌 두 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 존재하여 $\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}$ 이다. 그렇지 않으면 이 벡터들을 일차독립이라고 한다. $\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w}$ 가 한 평면 위에 있을 필요충분조건은 이 벡터들이 일차종속인 것임을 보이세요.

영어 원문 보기

Nonzero vectors $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w}$ are said to be linearly dependent if one of the vectors is a linear combination of the other two. For instance, there exist two nonzero real numbers $\alpha$ and $\beta$ such that $\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}.$ Otherwise, the vectors are called linearly independent. Show that $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w}$ are coplanar if and only if they are linear dependent.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 19번

# 외적증명·논술자동 분류

10.OpenStax 3권 · 2.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

벡터 $\text{u}=\langle 1,4,-7\rangle ,$ $\text{v}=\langle 2,-1,4\rangle ,$ $\text{w}=\langle 0,-9,18\rangle ,$ $\text{p}=\langle 0,-9,17\rangle$ 을 생각하자.

a. 스칼라 삼중곱을 이용하여 $\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w}$ 가 한 평면 위에 있음을 보이세요. b. $\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}$ 를 만족하는 0이 아닌 두 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 존재한다는 정의를 이용하여 $\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w}$ 가 한 평면 위에 있음을 보이세요. c. $\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{p}$ 가 일차독립임을 보이세요. 즉, 어느 벡터도 나머지 두 벡터의 일차결합이 아님을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider vectors $\text{u}=\langle 1,4,-7\rangle ,$ $\text{v}=\langle 2,-1,4\rangle ,$ $\text{w}=\langle 0,-9,18\rangle ,$ and $\text{p}=\langle 0,-9,17\rangle .$

a. Show that $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w}$ are coplanar by using their triple scalar product b. Show that $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w}$ are coplanar, using the definition that there exist two nonzero real numbers $\alpha$ and $\beta$ such that $\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}.$ c. Show that $\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{p}$ are linearly independent—that is, none of the vectors is a linear combination of the other two.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

11.OpenStax 3권 · 2.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

벡터 $\text{i}+\text{j},$ $\text{i}-\text{j},$ $\text{i}+\text{j}+\text{k}$ 가 일차독립임을, 즉 $\text{i}+\text{j}+\text{k}=\alpha (\text{i}+\text{j})+\beta (\text{i}-\text{j})$ 를 만족하는 0이 아닌 두 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 존재하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that vectors $\text{i}+\text{j},$ $\text{i}-\text{j},$ and $\text{i}+\text{j}+\text{k}$ are linearly independent—that is, there do not exist two nonzero real numbers $\alpha$ and $\beta$ such that $\text{i}+\text{j}+\text{k}=\alpha (\text{i}+\text{j})+\beta (\text{i}-\text{j}).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 외적증명·논술자동 분류

12.OpenStax 3권 · 2.4절 · 49번대학 수준우리말 번역

$\text{u}$ 와 $\text{v}$ 를 두 삼차원 벡터라 하자. 외적 벡터 $\text{u}\,\times \,\text{v}$ 의 크기가 벡터 $\text{u}$ 의 크기의 $k$ 배라면, $\text{v}$ 의 크기는 $k$ 이상임을 보이세요. 여기서 $k$ 는 자연수이다.

영어 원문 보기

Consider $\text{u}$ and $\text{v}$ two three-dimensional vectors. If the magnitude of the cross product vector $\text{u}\,\times \,\text{v}$ is $k$ times larger than the magnitude of vector $\text{u},$ show that the magnitude of $\text{v}$ is greater than or equal to $k,$ where $k$ is a natural number.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 5번

# 외적증명·논술자동 분류

13.APEX · 10.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 임의의 벡터 $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ 를 골라 $\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u\times \vec v+\vec u\times \vec w$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pick any vectors $\vec u$ , $\vec v$ and $\vec w$ in $\mathbb{R}^3$ and show that $\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u\times \vec v+\vec u\times \vec w$ .

정답·풀이 보기

답은 다양합니다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

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# 외적증명·논술자동 분류

14.APEX · 10.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 임의의 벡터 $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ 를 골라 $\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u\times \vec v)\cdot \vec w$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pick any vectors $\vec u$ , $\vec v$ and $\vec w$ in $\mathbb{R}^3$ and show that $\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u\times \vec v)\cdot \vec w$ .

정답·풀이 보기

답은 다양합니다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 37번

# 외적증명·논술자동 분류