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미적분Ⅱ · 미분법 · 9강

매개변수·음함수·역함수의 미분법

y가 x로 바로 풀리지 않을 때의 미분

5:39 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 3.8절 연습문제 10, 3.7절 연습문제 18 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

매개변수로 나타낸 함수 x=f(t)x=f(t), y=g(t)y=g(t): dydx=g′(t)f′(t)(f′(t)≠0)\frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\quad(f'(t)\ne0)

음함수 F(x,y)=0F(x,y)=0: 양변을 xx에 대해 미분하고 yy는 xx의 함수로 봅니다. (예: x2+y2=1⇒dydx=−xyx^2+y^2=1\Rightarrow\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y})

역함수: g=f−1g=f^{-1}이면 g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번우리말 풀이

주어진 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대하여 a. 점 PP 에서 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 기울기를 구하고, b. 그 점에서 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=−x3−x+2, P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,\ P(-8,2)

영어 원문 보기

For each of the given functions y=f(x),y=f(x), a. find the slope of the tangent line to its inverse function f−1{f}^{-1} at the indicated point P,P, and b. find an equation of the tangent line to the graph of f−1{f}^{-1} at the indicated point.

f(x)=−x3−x+2,P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,P(-8,2)

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

(f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} (b=f(a)b=f(a)) 이므로, 역함수의 기울기는 원래 함수 기울기의 역수예요.

  1. 1

    점 P(−8,2)P(-8,2) 는 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프 위의 점이에요. 즉 f−1(−8)=2f^{-1}(-8)=2 이고, 원래 함수에서는 f(2)=−8f(2)=-8 이에요. 직접 확인하면 f(2)=−8−2+2=−8f(2)=-8-2+2=-8 로 맞아요.

  2. 2

    원래 함수의 도함수는 f′(x)=−3x2−1f'(x)=-3x^2-1 이에요. x=2x=2 에서

    f′(2)=−12−1=−13f'(2)=-12-1=-13

  3. 3

    (a) 역함수의 미분법에 의해

    (f−1)′(−8)=1f′(2)=−113(f^{-1})'(-8)=\frac{1}{f'(2)}=-\frac{1}{13}

  4. 4

    (b) 점 (−8,2)(-8,2) 를 지나고 기울기가 −113-\frac{1}{13} 인 직선이에요.

    y−2=−113(x+8)y-2=-\frac{1}{13}(x+8)

    y=−113x−813+2=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x-\frac{8}{13}+2=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

답

(a) −113-\dfrac{1}{13} (b) y=−113x+1813y=-\dfrac{1}{13}x+\dfrac{18}{13}

자주 하는 실수

f′(−8)f'(-8) 처럼 f′f' 에 −8-8 을 넣어요. f′f' 에는 f(a)=−8f(a)=-8 이 되는 a=2a=2 를 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −113,-\frac{1}{13}, b. y=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.7절 · 3번우리말 번역

점 (1,10)(1,10) 이 y=f(x)y=f(x) 의 그래프 위에 있을 때, y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프에 대해 무엇을 말할 수 있는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 (10,1)(10,1) 은 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프 위에 있다(ff 가 역함수를 갖는다고 가정한다).

이 문제로 이어서 풀기
# 역함수의 미분법계산보통
2.OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 음함수의 미분법을 써서 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

풀이 보기

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한 뒤, dydx\frac{dy}{dx} 가 들어 있는 항만 모아 정리해요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 식이 y=⋯y=\cdots 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 yy 를 xx 의 함수로 생각하고 양변을 xx 에 대해 미분해요. yy 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 dydx\frac{dy}{dx} 가 하나씩 붙어요.

  2. 2

    각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. x3yx^3y 는 x3x^3 과 yy 의 곱이므로 ddx(x3y)=3x2y+x3dydx\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx} 이고, xy3xy^3 은 ddx(xy3)=y3+x⋅3y2dydx\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx} 예요. 우변 −8-8 은 상수이므로 미분하면 00 이에요.

  3. 3

    미분한 식을 합쳐요. 3x2y+x3dydx+y3+3xy2dydx=03x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0

  4. 4

    dydx\frac{dy}{dx} 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. (x3+3xy2)dydx=−3x2y−y3(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3

  5. 5

    양변을 x3+3xy2x^3+3xy^2 으로 나눠요. dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

답

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

자주 하는 실수

곱의 미분법을 쓸 때 y3y^3 을 미분하면서 3y23y^2 뒤에 dydx\frac{dy}{dx} 를 붙이는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3{x}^{2}y-{y}^{3}}{{x}^{3}+3x{y}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.6절 · 1번우리말 번역

음함수와 양함수의 차이를 자신의 말로 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

답은 다양하다.

이 문제로 이어서 풀기
# 음함수의 미분법계산보통
3.OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 기울기를 갖는 곡선 위의 점을 모두 구하세요.

x=t+1t,y=t−1t, 기울기=1\begin{array}{cc}x=t+\frac{1}{t}, & y=t-\frac{1}{t},\,\text{기울기}=1\end{array}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points on the curve that have the given slope.

x=t+1t,y=t−1t, slope=1\begin{array}{cc}x=t+\frac{1}{t}, & y=t-\frac{1}{t},\,\text{slope}=1\end{array}

풀이 보기

매개변수 곡선의 기울기는 dy/dtdx/dt\frac{dy/dt}{dx/dt} 이고, 이 값이 1 이 되는 tt 가 있는지 따져 봐요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? xx, yy 가 모두 tt 로 주어졌으니 기울기 dydx\frac{dy}{dx} 는 dydt\frac{dy}{dt} 를 dxdt\frac{dx}{dt} 로 나눠서 구해요.

  2. 2

    각각 tt 로 미분해요. dxdt=1−1t2,dydt=1+1t2\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2},\qquad \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}

  3. 3

    기울기를 식으로 써요. dydx=1+1t21−1t2=t2+1t2−1(t≠0, t≠±1)\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\quad (t\ne 0,\ t\ne\pm1) 분자와 분모에 t2t^2 을 곱해서 분수를 없앴어요.

  4. 4

    기울기가 1 인 tt 를 찾아요. t2+1t2−1=1  ⟹  t2+1=t2−1  ⟹  1=−1\frac{t^2+1}{t^2-1}=1 \;\Longrightarrow\; t^2+1=t^2-1 \;\Longrightarrow\; 1=-1 말이 되지 않는 식이 나왔어요. 이런 tt 는 없어요.

  5. 5

    결론. 기울기가 1 이 되는 점은 곡선 위에 없어요. (참고로 x2−y2=4x^2-y^2=4 인 쌍곡선인데, 점근선의 기울기가 1 이라서 기울기가 1 에 한없이 가까워질 뿐 같아지지는 않아요.)

답

조건을 만족하는 점이 없다 (기울기 t2+1t2−1\frac{t^2+1}{t^2-1} 은 1 이 될 수 없다)

자주 하는 실수

dxdt=0\frac{dx}{dt}=0 이 되는 t=±1t=\pm1 에서 기울기가 정의되지 않는다는 점을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

No points possible; undefined expression.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번

다음 문제에서 매개변수 곡선과 주어진 매개변수 범위로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] x=2a cos⁡ t−a cos⁡(2t),y=2a sin⁡ t−a sin⁡(2t),0≤t<2πx=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

6πa26\pi a^2

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 매개변수 곡선의 미적분계산보통
4.OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수 곡선과 주어진 매개변수 범위로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] x=2a cos⁡ t−a cos⁡(2t),y=2a sin⁡ t−a sin⁡(2t),0≤t<2πx=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.

[T] x=2a cos⁡ t−a cos⁡(2t),y=2a sin⁡ t−a sin⁡(2t),0≤t<2πx=2a\,\cos \,t-a\,\cos (2t),y=2a\,\sin \,t-a\,\sin (2t),0\le t<2\pi

답 쓰고 채점
풀이 보기

닫힌 매개변수 곡선이 둘러싼 넓이는 12∫(x y′−y x′) dt\frac{1}{2}\int (x\,y'-y\,x')\,dt 로 계산해요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 곡선이 0≤t<2π0\le t<2\pi 에서 한 바퀴 돌아 닫히므로, 반시계 방향으로 한 바퀴 돈 닫힌 곡선이 둘러싼 넓이 공식 A=12∫02π(xdydt−ydxdt)dtA=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt 를 쓸 수 있어요. (이 곡선은 심장 모양의 곡선이에요.)

  2. 2

    도함수를 구해요. x′=−2asin⁡t+2asin⁡2t,y′=2acos⁡t−2acos⁡2tx'=-2a\sin t+2a\sin 2t,\qquad y'=2a\cos t-2a\cos 2t

  3. 3

    xy′−yx′x y'-y x' 를 전개해요. xy′=4a2cos⁡2t−6a2cos⁡tcos⁡2t+2a2cos⁡22txy'=4a^2\cos^2 t-6a^2\cos t\cos 2t+2a^2\cos^2 2t yx′=−4a2sin⁡2t+6a2sin⁡tsin⁡2t−2a2sin⁡22tyx'=-4a^2\sin^2 t+6a^2\sin t\sin 2t-2a^2\sin^2 2t

  4. 4

    빼서 정리해요. sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 과 코사인 차 공식 cos⁡tcos⁡2t+sin⁡tsin⁡2t=cos⁡t\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t=\cos t 를 쓰면 xy′−yx′=4a2−6a2cos⁡t+2a2=6a2−6a2cos⁡txy'-yx'=4a^2-6a^2\cos t+2a^2=6a^2-6a^2\cos t

  5. 5

    적분해요. A=12∫02π(6a2−6a2cos⁡t)dt=12[6a2t−6a2sin⁡t]02π=12⋅12πa2=6πa2A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(6a^2-6a^2\cos t\right)dt=\frac{1}{2}\Big[6a^2t-6a^2\sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 12\pi a^2=6\pi a^2

답

6πa26\pi a^2

자주 하는 실수

공식 앞의 12\frac{1}{2} 을 빼먹거나, 삼각함수 전개에서 부호를 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

6πa26\pi {a}^{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7장 복습 · 26번우리말 번역

태양 주위를 도는 궤도 중 이심률이 가장 큰 명왕성의 궤도를 나타내는 직교좌표 방정식을 구하세요. 긴지름(장축)의 길이는 39.26 AU이고 짧은지름(단축)의 길이는 38.07 AU입니다. 이심률은 얼마인가요?

다 풀었으면 정답 확인

y219.032+x219.632=1,\frac{{y}^{2}}{{19.03}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{19.63}^{2}}=1, e=0.2447e=0.2447

이 문제로 이어서 풀기
# 매개변수 곡선의 미적분계산도전

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