부분적분법

왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.

이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$, $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.

참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.

치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$, 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.

적분해요. $$\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$$

$x$ 로 되돌려요. $$-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

$x$ 와 $\cosh x$ 가 곱해져 있고 치환으로는 풀리지 않아요. 그래서 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 를 써요. $x$ 는 미분하면 $1$ 이 되어 간단해지니까 $u=x$, $dv=\cosh x\,dx$ 로 잡아요.

공식에 넣을 $du$ 와 $v$ 를 구해요. $du=dx$ 이고, $\sinh x$ 를 미분하면 $\cosh x$ 이므로 $v=\sinh x$ 예요.

공식에 대입해요. $$\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\int \sinh x\,dx$$

남은 적분은 쉬워요. $\cosh x$ 를 미분하면 $\sinh x$ 이므로 $\int\sinh x\,dx=\cosh x$ 예요. 따라서 $$\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\cosh x+C$$

검산으로 미분해 봐요. $(x\sinh x-\cosh x)'=\sinh x+x\cosh x-\sinh x=x\cosh x$ 로 처음 식이 나와요.

먼저 식을 $\ln^2 x\cdot\frac1x$ 로 읽어요. 여기서 $\frac1x$ 는 바로 $\ln x$ 의 도함수예요. 어떤 함수와 그 도함수가 같이 곱해져 있으면 치환적분을 먼저 떠올려요.

$u=\ln x$ 로 놓으면 $du=\frac1x\,dx$ 예요.

치환하면 $$\int \frac{\ln^2 x}{x}\,dx=\int u^2\,du$$ 로 아주 간단한 거듭제곱 적분이 돼요.

그래서 부분적분은 필요 없어요. (참고로 끝까지 풀면 $\frac{u^3}{3}+C=\frac{\ln^3 x}{3}+C$ 예요.)