등비수열의 극한

1. 1

   수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.

2. 2

   일반항 공식에 넣어요. $$a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$$

3. 3

   확인해요. $a_1=4-7=-3$, $a_2=1$, $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

1. 1

   극한의 성질을 떠올려요. $\lim a_n$ 과 $\lim b_n$ 이 모두 존재하면 $\lim(pa_n+qb_n)=p\lim a_n+q\lim b_n$ 이에요.

2. 2

   값을 넣어요. $$\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7$$

3. 3

   조건 $0<-b_n<a_n$ 는 이 문제에서 쓰이지 않아요. 다른 소문항(예: 비의 극한)에서 쓰이는 조건이에요.

1. 1

   몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$, $a_2=\sqrt6\approx2.449$, $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.

2. 2

   $a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).

3. 3

   감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$, 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.

4. 4

   수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$, $a_{n-1}\to a$ 이므로 $$a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

1. 1

   $f'$ 를 구해서 점화식을 써요. $f(x)=(x-1)^2-2$ 이니 $f'(x)=2(x-1)$ 이에요. $$x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-1)^2-2}{2(x_n-1)}$$

2. 2

   식을 간단히 해요. $y_n=x_n-1$ 로 두면 $y_{n+1}=y_n-\dfrac{y_n^2-2}{2y_n}=\dfrac{y_n}{2}+\dfrac1{y_n}$ 이고, $x_0=2$ 이니 $y_0=1$ 이에요.

3. 3

   극한값(해)을 구해요. 수렴한다면 극한 $y$ 는 $y=\dfrac y2+\dfrac1y$, 즉 $y^2=2$ 를 만족해요. 처음부터 $y_n>0$ 이므로 $y=\sqrt2$, 따라서 $x=1+\sqrt2\approx2.4142$ 예요. (원래 방정식 $(x-1)^2=2$ 의 큰 근과 같아요.)

4. 4

   항을 차례로 계산해요.

   $n$	$y_n$	$x_n=1+y_n$
   0	1	2
   1	1.5	2.5
   2	1.416667	2.416667
   3	1.414216	2.414216
   4	1.414214	2.414214

5. 5

   처음으로 $2.4142$ 와 같아지는 $n$ 을 찾아요. $x_2\approx2.4167$ 은 넷째 자리가 달라요. $x_3\approx2.4142$ 부터는 소수 넷째 자리까지 $x$ 와 같아요. 그래서 가장 작은 $n$ 은 $3$ 이에요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 $n=5$ 라고 했으나 직접 계산하면 $x_3=2.414216\ldots$ 가 이미 $2.4142$ 와 소수 넷째 자리까지 같음($x_4$ 는 7자리가 같음). 원본이 더 많은 자리를 요구했거나 번호를 달리 센 것으로 보이며 사람이 확인 필요. 나머지(점화식, $1+\sqrt2$, $2.4142$)는 일치.