미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 4강

등비급수

Name: 미적분Ⅱ 4강 등비급수
Uploaded: 2026-10-24T04:24:20.457Z
Duration: 5 min 49 s
Description: 공비의 크기로 수렴을 판정하고 합 구하기

공비의 크기로 수렴을 판정하고 합 구하기

5:49 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: Gregory Hartman et al., APEX Calculus, Version 5.0 (source: github.com/APEXCalculus/APEXCalculusV5). CC BY-NC 4.0. https://www.apexcalculus.com/ · 8.2절 연습문제 37. 원문 파일: https://github.com/APEXCalculus/APEXCalculusV5/blob/master/exercises/08_02_ex_17.tex; Joel Feldman, Andrew Rechnitzer, Elyse Yeager, CLP-2 Integral Calculus (Problem Book). CC BY-NC-SA 4.0. https://www.math.ubc.ca/~CLP/CLP2/ · 3.2절 연습문제 23. 원문 파일: https://github.com/arechnitzer/CLP2/blob/master/latex/problembook/problems/prob_s3.2.tex. 문제를 우리말로 옮기고 그림을 새로 그렸으며, 이 영상은 비영리 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1,\ a\ne0)$

$a\ne0$ 이고 $|r|\ge1$ 이면 발산합니다.

순환소수, 닮은 도형이 반복되는 넓이 문제에 자주 쓰입니다. $0.\dot{3}=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.2절 · 47번우리말 번역

조화급수를 홀수번째 항과 짝수번째 항의 합으로 나누세요. $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ 목표는 오른쪽의 두 급수가 각각 발산함을 보이는 것입니다.

(a) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요.

(각 $n^\text{th}$ 부분합을 비교하세요.) (b) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요. (c) (a)와 (b)가 홀수번째 항의 급수가 수렴하는 것과 짝수번째 항의 급수도 수렴하는 것이 서로 필요충분조건임을 어떻게 보여 주는지 설명하세요. (즉, 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산함을 보이세요.) (d) 조화급수가 발산한다는 사실로부터 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수도 발산하게 되는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 작으므로 결과를 얻는다. (b) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ 이다. 1에 짝수번째 항의 급수를 더한 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ 이다. 이제 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 크거나 같고, 첫째 항에서만 같다. 따라서 결과를 얻는다. (c) 홀수번째 항의 급수가 수렴하면 (a)의 풀이에 의해 짝수번째 항의 급수도 수렴한다. (짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합으로 이루어진 수열은 유계이고 단조증가한다.) 마찬가지로 (b)에 의해 짝수번째 항의 급수가 수렴하면 홀수번째 항의 급수도 수렴한다. 따라서 어느 한 급수가 수렴하면 다른 급수도 수렴한다.

비슷하게 (a)와 (b)를 이용하면, 어느 한 급수가 발산하면 다른 급수도 발산함을 보일 수 있다. (d) 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수가 모두 수렴한다면 두 급수의 합은 수렴하는 급수가 된다. 이는 두 급수의 합인 조화급수가 수렴한다는 뜻이 된다. 그러나 조화급수는 수렴하지 않는다. 그러므로 각 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

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# 급수의 수렴과 발산계산보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

다 풀었으면 정답 확인

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산활용도전

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