빌드라인 스쿨

미적분Ⅱ · 적분법 · 17강

속도와 거리, 곡선의 길이

평면 운동의 거리와 곡선의 길이

5:54 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 6.4절 연습문제 9 (https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1); OpenStax, Calculus Volume 2, 7.2절 연습문제 48 (https://openstax.org/details/books/calculus-volume-2) (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

평면 위 운동에서 움직인 거리: $\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

곡선 $y=f(x)$ $(a\le x\le b)$ 의 길이: $\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간에서 함수의 그래프의 길이를 구하세요.

$y=5x$ ( $x=0$ 부터 $x=2$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

$y=5x\,\text{from}\,x=0\,\text{to}\,x=2$

답 쓰고 채점

풀이 보기

곡선의 길이는 $\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요.

1
곡선 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 부터 $b$ 까지의 길이는 $L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$ 예요.
2
$y'=5$ 이므로 $\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ 이에요.
3
$L=\int_0^2\sqrt{26}\,dx=\sqrt{26}\,[x]_0^2=2\sqrt{26}$
4
검산해요. 두 점 $(0,0)$ , $(2,10)$ 사이의 거리는 $\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ 으로 같아요.

답

$2\sqrt{26}$

자주 하는 실수

근호 안에서 $1+5^2$ 대신 $1+5$ 로 쓰는 실수가 많아요. 기울기는 제곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{26}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 곡선을 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. 적분을 정확하게 계산할 수 없으면 계산기를 사용하여 어림하세요.

[계산기 사용] $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , $x=1$ 에서 $x=3$ 까지

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$25.645$

이 문제로 이어서 풀기

# 곡선의 길이계산기본

2.OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. 적분을 정확히 구할 수 없으면 계산기로 근삿값을 구하세요.

$y=7x$ ( $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the $x\text{-axis}.$ If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

$y=7x$ from $x=-1\,\text{to}\,x=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉넓이는 $\int 2\pi\,(\text{반지름})\,ds$ 이고, 반지름은 $|y|$ , $ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$ 예요.

1
$x$ 축 둘레로 돌린 곡면의 넓이는 $S=\int_a^b2\pi\,|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요. 반지름은 축에서 곡선까지의 거리 $|y|$ 라서 절댓값이 필요해요.
2
$y'=7$ 이므로 $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ 이고 $|y|=7|x|$ 예요.
3
$S=2\pi\int_{-1}^{1}7|x|\cdot5\sqrt2\,dx=70\sqrt2\,\pi\int_{-1}^{1}|x|\,dx$
4
$\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_0^1x\,dx=2\cdot\frac12=1$ 이므로 $S=70\sqrt2\,\pi$ 예요.
5
검산해요. 이 곡면은 꼭짓점이 원점인 두 원뿔을 맞붙인 모양이에요. 한 원뿔은 밑면 반지름 $7$ , 높이 $1$ , 빗변 $\sqrt{50}$ 이므로 옆넓이 $\pi\cdot7\cdot\sqrt{50}=35\sqrt2\,\pi$ 이고, 둘을 합하면 $70\sqrt2\,\pi$ 예요.

답

$70\sqrt{2}\,\pi$

자주 하는 실수

$x<0$ 에서 $y$ 가 음수라 반지름이 음수가 되어 구간 전체가 $0$ 으로 상쇄된다고 착각해요. 반지름은 $|y|$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 회전체의 겉넓이계산보통

3.OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 식은 각각 직선을 나타내요. 매개변수를 없애지 말고 각 직선의 기울기를 구하세요.

$x=-5t+7,\ \ y=3t-1$

영어 원문 보기

For the following exercises, each set of parametric equations represents a line. Without eliminating the parameter, find the slope of each line.

$\begin{array}{cc}x=-5t+7, & y=3t-1\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

기울기 $\frac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ 를 쓰면 매개변수를 없애지 않아도 돼요.

1
매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 분자·분모를 각각 $t$ 로 미분해서 나눠요.
2
$\frac{dx}{dt}=-5$ , $\frac{dy}{dt}=3$ 이에요.
3
$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{-5}=-\frac35$

답

$-\frac35$

자주 하는 실수

분자와 분모를 거꾸로 나누어 $-\frac53$ 이라고 쓰기 쉬워요. $y$ 의 변화량이 분자예요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-3}{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번

다음 문제에서 매개변수의 주어진 값에서 $\frac{dy}{dx}$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t,\ \ y=\sin t,\ \ t=\frac{3\pi}{4}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$1$

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# 매개변수로 나타낸 함수의 미분계산기본

4.OpenStax 2권 · 7.2절 · 32번대학 수준우리말 풀이

다음 문제에서 매개변수의 주어진 값에서 $\frac{dy}{dx}$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t,\ \ y=\sin t,\ \ t=\frac{3\pi}{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $dy/dx$ at the value of the parameter.

$\begin{array}{cc}x=\cos \,t, & y=\sin \,t,\quad t=\frac{3\pi }{4}\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 를 먼저 $t$ 의 식으로 구한 뒤 $t$ 값을 넣어요.

1
매개변수 곡선의 기울기는 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 예요. 먼저 각각 미분해요. $\frac{dx}{dt}=-\sin t$ , $\frac{dy}{dt}=\cos t$ 예요.
2
$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$
3
$t=\frac{3\pi}{4}$ 에서 $\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}$ , $\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$ 이므로 $\frac{dy}{dx}=-\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1$
4
검산해요. 이 곡선은 단위원이고, 원 위의 점 $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 에서 반지름의 기울기는 $-1$ 이에요. 접선은 반지름에 수직이므로 기울기는 $1$ 이에요.

답

$1$

자주 하는 실수

$\frac{dx}{dt}=-\sin t$ 의 부호를 빠뜨리면 답이 $-1$ 이 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 7.2절 · 4번

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 식은 각각 직선을 나타내요. 매개변수를 없애지 말고 각 직선의 기울기를 구하세요.

$x=-5t+7,\ \ y=3t-1$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-\frac35$

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# 매개변수로 나타낸 함수의 미분계산기본

Isaac 실험으로 확인

강의 예제를 가상 실험실(NVIDIA Isaac Sim 물리 시뮬레이션)에서 돌려, 미적분으로 계산한 값과 실험에서 잰 값을 나란히 놓았어요.

수레로 재 본 위치 변화와 움직인 거리

강의 예제 — 속도 $v(t)=t^2-2t$ , $0\le t\le 3$ 으로 움직이는 수레 (위치 변화는 $\int_0^3 v\,dt$ , 움직인 거리는 $\int_0^3 |v|\,dt$ )

실험 화면은 3.2배 느리게 보여 줘요 · 점선 = 미적분으로 계산한 자리

무엇	미적분으로 계산	Isaac 에서 잰 값	차이	허용
위치 변화 (∫v dt)	$0$ m	0.005931 m	0.005931 m	±0.0267 m
움직인 거리 (∫\|v\| dt)	$\tfrac{8}{3}\approx 2.667$ m	2.67 m	0.12%	±1.0%
방향이 바뀐 때 (센서 경로 확인)	$2$ s	1.998 s	-0.001745 s	±0.02 s

위치 변화 (∫v dt)
계산
$0$ m
잰 값
0.005931 m
차이 0.005931 m · 허용 ±0.0267 m
움직인 거리 (∫|v| dt)
계산
$\tfrac{8}{3}\approx 2.667$ m
잰 값
2.67 m
차이 0.12% · 허용 ±1.0%
방향이 바뀐 때 (센서 경로 확인)
계산
$2$ s
잰 값
1.998 s
차이 -0.001745 s · 허용 ±0.02 s

무엇이 독립인가 · 같은 입력: 미는 힘 F(t)=m·v′(t) · 독립: 움직임은 PhysX 가 계산, 거리는 바퀴 회전(거리계)으로 잼 · 검증의 몸통은 위치 변화·움직인 거리 줄이고, 방향이 바뀐 때 줄은 입력 v 의 근을 거리계로 다시 읽는 센서 경로 확인(독립 검증 아님)

Isaac Sim 6.0.1-rc.7 · 물리 480 Hz · 실행 20261024-203309-edulab_c2_17

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