미적분Ⅱ · 적분법 · 13강

치환적분법

Name: 미적분Ⅱ 13강 치환적분법
Uploaded: 2026-10-24T07:33:33.137Z
Duration: 5 min 13 s
Description: 속함수를 새 변수로 바꿔 적분하기

속함수를 새 변수로 바꿔 적분하기

5:13 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 5.5절 연습문제 12·44 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0). https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1. 원문 쪽: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-5-substitution. 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$g(x)=t$ 로 놓으면 $g'(x)\,dx=dt$ 이므로 $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$

$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$

정적분에서는 적분 구간도 함께 바꿉니다: $x=a$ 일 때 $t=g(a)$ .

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

다 풀었으면 정답 확인

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산기본

2.OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

분모 속 $x^3-3$ 을 $u$ 로 놓으면 $du=3x^2dx$ 이고, 분자의 $x^2dx$ 가 $\frac13du$ 가 돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.
2
치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.
3
적분해요. $\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$

답

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$

자주 하는 실수

$\int u^{-2}du$ 를 $\frac{u^{-1}}{-1}$ 로 계산할 때 음수 부호를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3({x}^{3}-3)}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{x^2+1}+C$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 치환적분법계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번우리말 풀이

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

풀이 보기

$u=\cos\theta$ 로 놓으면 $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, 정적분에서는 적분 구간도 $u$ 값으로 바꿔요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.
2
치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$ , $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.
3
식을 바꿔 적분해요. $\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.
4
값을 구해요. $\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$

답

$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}$

자주 하는 실수

정적분에서 구간을 $u$ 로 바꾸지 않고 $\theta$ 의 구간을 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\cos \theta ,du=-\sin \theta d\theta ,{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}{u}^{-4}du=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 치환적분법계산보통

4.OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of $f(x)$ over an interval $[a,b]$ is the same as the average value of $f(cx)$ over the interval $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ for $c>0.$

풀이 보기

평균값 정의에 $u=cx$ 로 치환하면 구간의 길이와 $du$ 의 $c$ 가 서로 상쇄돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 구간 $[p,q]$ 에서 $g$ 의 평균값은 $\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx$ 예요. 이 정의대로 $f(cx)$ 의 평균값을 쓰고, 치환으로 $f$ 의 평균값과 같아지는지 확인해요.
2
평균값을 식으로 써요. $f(cx)$ 를 구간 $\left[\frac ac,\frac bc\right]$ 에서 평균하면 $\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx$ 이고, 앞의 분모는 $\frac{b-a}{c}$ 이므로 계수는 $\frac{c}{b-a}$ 예요.
3
치환해요. $u=cx$ 로 놓으면 $du=c\,dx$ , 즉 $dx=\frac{du}{c}$ 이고, $x=\frac ac$ 이면 $u=a$ , $x=\frac bc$ 이면 $u=b$ 예요.
4
정리해요. $\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du$ 이것은 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. $\blacksquare$

답

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자주 하는 실수

치환한 뒤 $dx=\frac{du}{c}$ 의 $c$ 를 빼먹거나, 적분 구간을 $u$ 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=cx$ and $du=cdx$ gets you $\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 14번우리말 번역

어느 지역의 1년 동안 공기 중 이산화탄소 농도는 $C(t) = 400+50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)$ 백만분율(ppm)로 근사된다. 여기서 $t$ 는 시간 단위로 측정한다.

(a) 그 지역의 그해 평균 이산화탄소 농도는 얼마입니까? (b) 첫째 날의 평균 농도는 얼마입니까? (c) 측정을 매일 정오에만 했다고 하자. 즉 $t=12+24n$ 일 때만 측정했고, 여기서 $n$ 은 0 이상 364 이하의 임의의 정수이다. 그러면 하루 중의 변화는 사라진다: $50\cos\left(\frac{(12+24n)}{12}\pi\right) = 50\cos\left(\pi+2\pi n\right) = 50\cos\pi=-50$ . 따라서 대기 중 이산화탄소 농도의 근삿값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $N(t) = 350 +200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\quad\text{ ppm}$ $C(t)$ 대신 $N(t)$ 를 사용할 때 연평균 이산화탄소 농도에 생기는 상대오차는 얼마입니까?

하루는 정확히 24시간, 1년은 정확히 8760시간이라고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

문제에 답하기 전에 주어진 함수를 조금 더 자세히 살펴보자. 항 $50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)$ 의 주기는 24시간이고, 항 $200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)$ 의 주기는 1년이다. 따라서 앞의 항은 하루 중의 일반적인 변화를 나타내고, 뒤의 항은 1년에 걸친 계절별 변화를 나타낸다.

(a) 평균의 정의를 이용하면, 1년( $t=0$ 부터 $8760$ 까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &\frac{1}{8760}\int_0^{8760}\left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{8760}\int_0^{8760}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t + \frac{200}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t\\ &= 400 + \frac{5}{876}\left[\frac{12}{\pi}\sin\left(\frac{t}{12}\pi\right)\right]_0^{8760}+ \frac{5}{219}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{8760} \\ \text{$\frac{8760}{12} = 730$은 짝수이므로 $\sin\left(\frac{8760}{12}\pi\right)=\sin(0)=0$이다. 또한 $\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)=\sin(2\pi)=0$이다. } \\ &=400+ \frac{5}{876}(0) + \frac{5}{219}(0)\\ &=400\quad\text{ ppm} \end{aligned}$

참고: 적분에서 빨간색과 파란색으로 표시된 부분은, 피적분함수가 정수 번의 주기를 지난다는 점에 주목해도 된다. 한 주기마다 곡선과 $x$ 축 사이의 부호 있는 넓이의 합은 0이므로, 처음부터 이 항들이 최종 평균에 0을 더한다는 것을 알 수 있다.

(b) 평균의 정의를 이용하면, 첫째 날( $t=0$ 부터 $t=24$ 까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &\frac{1}{24}\int_0^{24} \left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{24}\int_0^{24}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t+ \frac{200}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t \\ \text{$t=0$부터 $t=24$까지는 빨간색 피적분함수의 꼭 한 주기이므로 빨간색 적분의 값은 0이다. 그러나 $t=0$부터 $t=24$까지는 파란색 피적분함수의 한 주기보다 \textit{짧으므로}, 이 항은 평균에 0이 아닌 값을 더할 것으로 예상할 수 있다.} \\ &=400+ 0 + \frac{200}{24}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{24}\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{24}{4380}\pi\right)\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{2}{365}\pi\right)\\ &\approx 400+199.99\\ &=599.99 \quad\text{ ppm} \end{aligned}$

참고: $C(0) = 400+ 50+ 200$ 이다. 빨간색 항은 하루 중의 변화에서 나오며, 첫째 날 동안 이 항의 평균은 0이다. 파란색 항은 계절별 변화에서 나오는데, 이는 1년 전체에 걸쳐서는 크게 변하지만 하루 동안에는 그다지 많이 변하지 않는다. 따라서 첫째 날의 평균 농도가 (정확히는 아니지만) $400+200$ ppm에 가까운 것은 타당하다.

$\begin{aligned} \frac{1}{8760}\int_0^{8760} \left ( 350+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t&=350 + \frac{200}{8760}\bigg[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\bigg]_0^{8760} \\&=350+\frac{200}{8760}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)\right]\\ &=350+\frac{100}{\pi}\sin\left(2\pi\right)\\&=350 \end{aligned}$

$C(t)$ 의 평균이 400이었으므로, 절대오차는 $|400-350|=50$ ppm이고 상대오차는 $\frac{50}{400} = 0.125,$ 즉 12.5%이다.

다시 말해, 하루 중 계속 측정하지 않고 매일 같은 시각에 측정하면 연평균 이산화탄소 농도에 12.5%의 오차가 생긴다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값증명·논술보통

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