미적분Ⅱ · 미분법 · 7강

삼각함수의 미분

Name: 미적분Ⅱ 7강 삼각함수의 미분
Uploaded: 2026-10-24T05:32:27.181Z
Duration: 5 min 48 s
Description: 여섯 가지 삼각함수의 도함수

여섯 가지 삼각함수의 도함수

5:48 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 3.5절 연습문제 7·23 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=\sec^2x$ , $(\sec x)'=\sec x\tan x$ , $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ , $(\cot x)'=-\csc^2x$

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

풀이 보기

항별로 미분하고, $(\sec x)'=\sec x\tan x$ 를 써요.

1
합·차로 이어진 식은 항마다 따로 미분해도 돼요.
2
$(x^2)'=2x$ , $(\sec x)'=\sec x\tan x$ , 상수 $1$ 의 미분은 $0$ 이에요.

$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x+0=2x-\sec x\tan x$

답

$\dfrac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$

자주 하는 실수

$(\sec x)'$ 를 $\sec^2x$ 로 착각해요. $\sec^2x$ 는 $\tan x$ 의 도함수예요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번

$f(x)=\cot x$ 라 하자. $0<x<2\pi$ 에서 접선이 직선 $y=-2x$ 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

풀이 보기

분수식이므로 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 쓰고, $(\cot x)'=-\csc^2x$ 를 이용해요.

1
분자 $u=1-\cot x$ , 분모 $v=1+\cot x$ 로 놓아요. $(\cot x)'=-\csc^2x$ 이므로

$u'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x$
2
몫의 미분법에 넣어요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}$
3
분자에서 $\csc^2x$ 로 묶고 정리해요.

$\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x$

따라서

$\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}$

답

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^{2}x}{(1+\cot x)^{2}}$

자주 하는 실수

$(\cot x)'$ 의 부호 $-$ 를 빠뜨리거나, 몫의 미분법에서 분자의 빼는 순서를 바꿔요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\csc }^{2}x}{{(1+\cot x)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 를 구하세요.

$y=x\sin x-\cos x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$ for the given functions.

$y=x\sin x-\cos x$

답 쓰고 채점

풀이 보기

이계도함수는 미분을 두 번 하면 돼요. 한 번 미분한 결과를 다시 미분해요.

1
먼저 한 번 미분해요. $x\sin x$ 는 곱의 미분법, $(-\cos x)'=\sin x$ 예요.

$\frac{dy}{dx}=\sin x+x\cos x+\sin x=2\sin x+x\cos x$
2
한 번 더 미분해요. $(2\sin x)'=2\cos x$ 이고 $x\cos x$ 는 곱의 미분법으로 $\cos x-x\sin x$ 예요.

$\frac{d^2y}{dx^2}=2\cos x+\cos x-x\sin x=3\cos x-x\sin x$

답

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x$

자주 하는 실수

$(\cos x)'$ 의 부호를 틀리거나 첫 번째 미분에서 $\sin x$ 가 두 번 나오는 것을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$3\cos x-x\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.2절 · 6번우리말 번역

이 문제에서는 미분의 극한 정의로부터 $\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)$ 임을 더 엄밀하게 보이는 방법을 알아봅니다. $f(x) = \sin(x)$ 라 하면, 도함수의 극한 정의에 의해 다음이 성립합니다.

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$

(a) 두 각 $\alpha$ , $\beta$ 의 합에 대한 사인의 삼각함수 공식 $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$ 를 떠올리세요. 이 공식과 약간의 대수적 계산을 이용하여 다음을 보이세요. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}\,.$ (b) 다음으로, $h$ 가 변하는 동안 $x$ 는 상수로 유지됨에 주목하세요. 그렇다면 다음과 같이 말하는 것이 타당한 이유를 설명하세요. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) -1 }{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (c) 마지막으로, 작은 $h$ 의 값을 이용하여 (c)의 두 극한의 값을 어림하세요. $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \ \ \text{그리고} \ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (d) 그렇다면 (b)와 (c)의 결과는 $f'(x)$ 에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하세요. (e) 위에서 밟은 단계를 따라 하여, 미분의 극한 정의를 이용해 $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ 임을 설득력 있게 논증하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 정의에 의해 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$ 사인 함수의 두 각의 합 공식에 의해 $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ 이므로 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$ .. 첫째 항과 마지막 항을 묶고 $\sin(x)$ 를 공통인수로 묶어 내면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x) }{h}$ .. (b) (a)에서 이어서, 분자의 각 부분을 $h$ 로 나누면 다음과 같다. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) }{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \right)\,.$ 다음으로, $\sin(x)$ 는 $h$ 에 의존하지 않고, 마찬가지로 $\cos(x)$ 도 $h$ 와 무관하다. 따라서 이들을 상수로 보아 극한 기호 밖으로 낼 수 있고, 또 합의 극한은 극한의 합과 같다. 그러므로 다음과 같이 쓸 수 있다. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right)\,.$ (c) 작은 양수와 음수인 $h$ 의 값을 이용하여 구하려는 극한을 어림하면 $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) = 0$ 이고 $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = 1$ 임을 알 수 있다. 각 경우에 $h = \pm 0.01, \pm 0.001, \pm 0.0001$ 의 $h$ 값을 살펴보면 충분하다. (d) (b)와 (c)의 결과를 합치면 다음을 얻는다. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)\,.$ (e) $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ 임을 보이는 논증은 거의 같다. 다만 $\cos(\alpha + \beta)$ 에 대한 두 각의 합 공식은 $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$ 임에 유의한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번우리말 풀이

$f(x)=\cot x$ 라 하자. $0<x<2\pi$ 에서 접선이 직선 $y=-2x$ 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\cot x.$ Determine the points on the graph of $f$ for $0<x<2\pi$ where the tangent line(s) is (are) parallel to the line $y=-2x.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

평행한 직선은 기울기가 같으므로 $f'(x)=-2$ 를 만족하는 $x$ 를 찾아요.

1
직선 $y=-2x$ 의 기울기는 $-2$ 예요. 평행한 접선도 기울기가 $-2$ 이므로 $f'(x)=-2$ 인 $x$ 를 구하면 돼요.
2
$f'(x)=-\csc^2x$ 이므로

$-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12$
3
$\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고 $0<x<2\pi$ 이므로 $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$ 네 개예요.
4
각 $x$ 에 대한 $f(x)=\cot x$ 의 값을 구해 점을 완성해요.

$\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1$

답

$\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)$

자주 하는 실수

$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우만 구하고 $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{3\pi }{4}, -1\right), \left(\frac{5\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{7\pi }{4}, -1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번

다음 함수에 대하여 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 를 구하세요.

$y=x\sin x-\cos x$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산보통

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