수열의 수렴과 발산

몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$, $a_2=2\cdot2=4$, $a_3=2\cdot4=8$, $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.

등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$, 공비 $r=2$ 이므로 $$a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$$

확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$, $a_3=\dfrac38$, $a_4=\dfrac14$, $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.

비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$, 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.

유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

식을 풀어 써요. 지수법칙으로 $(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}$ 이니까 $$a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)$$

각 부분의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac1n\to0$ 이므로 $2^{1/n}\to2^0=1$ 이에요. 또 $\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0$ 이라(로그는 $n$ 보다 훨씬 느리게 커져요) $n^{1/n}\to e^0=1$ 이에요.

극한의 곱의 성질을 써요. $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0$$ (다르게 보면 $(2n)^{1/n}\to1$, $n^{1/n}\to1$ 이니 차가 $0$ 이에요.)

규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.

$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $$x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$$

다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $$x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$$

반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.

검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.