넓이와 부피

곡선이 $x=y^2$ 처럼 $x$ 를 $y$ 로 나타낸 꼴이라 $y$ 에 대해 적분하는 것이 편해요. 그림에서 영역은 왼쪽이 포물선 $x=y^2$, 오른쪽이 직선 $x=9$ 예요.

적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳이에요. $y^2=9$ 에서 $y=-3$, $y=3$ 이에요.

가로 길이(오른쪽 $-$ 왼쪽)는 $9-y^2$ 이므로 $$A=\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy$$ 예요.

계산해요. 피적분함수가 짝함수라 $2\int_0^3(9-y^2)\,dy$ 로 바꿀 수 있어요. $$2\left[9y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$$

두 그래프를 그려요. $y=4-3x$ 는 기울기 $-3$, $y$ 절편 $4$ 인 직선이고, $y=\frac1x$ 는 제1사분면에서 감소하는 곡선이에요. 직선이 곡선과 두 점에서 만나 그 사이에 영역이 생겨요.

교점을 구해요. $4-3x=\frac1x$ 의 양변에 $x$ 를 곱하면 $4x-3x^2=1$, 즉 $3x^2-4x+1=0$ 이고 $(3x-1)(x-1)=0$ 이므로 $x=\frac13,\ 1$ 이에요.

두 교점 사이의 한 점 $x=\frac12$ 에서 직선은 $4-\frac32=\frac52$, 곡선은 $2$ 이므로 직선이 위에 있어요.

넓이는 (위 $-$ 아래)의 정적분이에요. $$A=\int_{1/3}^{1}\left(4-3x-\frac1x\right)dx=\left[4x-\frac32x^2-\ln x\right]_{1/3}^{1}$$

$x=1$ 에서의 값은 $4-\frac32-0=\frac52$ 이고, $x=\frac13$ 에서의 값은 $\frac43-\frac16-\ln\frac13=\frac76+\ln3$ 이에요. 따라서 $$A=\frac52-\frac76-\ln3=\frac43-\ln3$$

그림을 보면 세 직선이 서로 만나는 세 점이 모두 단위원 위에 있고, 삼각형이 원 안에 들어 있어요. 구하려는 부분은 원 안에서 삼각형 바깥쪽이에요.

꼭짓점을 구해요. $y=2x+1$ 과 $y=1-2x$ 는 $x=0$ 에서 만나 $(0,1)$ 이에요. $y=2x+1$ 과 $y=-\frac35$ 는 $2x+1=-\frac35$ 에서 $x=-\frac45$ 이므로 $\left(-\frac45,-\frac35\right)$, 대칭으로 $\left(\frac45,-\frac35\right)$ 도 꼭짓점이에요. 세 점 모두 $x^2+y^2=1$ 을 만족해요. (예: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$)

삼각형의 밑변은 $y=-\frac35$ 위에서 길이 $\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85$ 이고, 높이는 $1-\left(-\frac35\right)=\frac85$ 예요. 그래서 넓이는 $$\frac12\cdot\frac85\cdot\frac85=\frac{32}{25}$$ 예요.

단위원의 넓이는 $\pi$ 이므로 구하는 넓이는 $$\pi-\frac{32}{25}$$ 예요.

이것이 미적분 없이 푸는 방법이에요. 적분으로 풀면 원의 위쪽·아래쪽 호와 직선 사이를 나누어 계산해야 해서 훨씬 번거로워요.

영역은 제1사분면에서 위는 $y=\frac\pi4$, 오른쪽은 $x=\sec y$, 아래는 $x$ 축, 왼쪽은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분이에요.

$y$ 축을 중심으로 돌리면, 높이 $y$ 에서 자른 단면은 반지름이 $x=\sec y$ 인 원판이에요. 넓이는 $\pi\sec^2 y$ 예요.

$y$ 는 $0$ 부터 $\frac\pi4$ 까지이므로 $$V=\pi\int_0^{\pi/4}\sec^2y\,dy$$ 예요.

$\tan y$ 를 미분하면 $\sec^2y$ 이므로 $$V=\pi\bigl[\tan y\bigr]_0^{\pi/4}=\pi(1-0)=\pi$$ 예요.