도함수의 활용

왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$$

두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $$36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$$

반지름은 양수이므로 $$r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$$

왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$, 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.

변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$, 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.

관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $$\tan\theta=\frac{x}{y}$$

양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $$\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.

$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $$\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$$

$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $$\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

왜 이렇게 할까요? 최적화 문제는 먼저 구하려는 양(여기서는 시간 $T$)을 하나의 변수($\theta$)로 나타내는 데서 시작해요.

기본 관계를 떠올려요. 일정한 속력으로 움직이면 $$\text{시간}=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$$ 이에요.

두 구간으로 나눠요. 전체 시간은 $$T(\theta)=\frac{(\text{달리는 거리})}{(\text{달리는 속력})}+\frac{(\text{헤엄치는 거리})}{(\text{헤엄치는 속력})}$$ 이에요. 이 문제의 원본 답에서 첫 항 $\frac{40\theta}{3v}$ 는 달리는 시간, 둘째 항 $\frac{40\cos\theta}{v}$ 는 헤엄치는 시간에 해당해요.

각 $\theta$ 로 거리를 나타내요. (원문 앞 문제의 상황: 지름 $40\,\text{m}$ 인 원 모양 수영장 가장자리의 점 $A$ 에 있는 구조원이, 지름의 반대쪽 끝 $C$ 에 있는 사람에게 가요. 헤엄치는 속력은 $v$, 수영장 가장자리를 달리는 속력은 $3v$ 예요.) 구조원이 지름 $AC$ 와 각 $\theta$ 를 이루는 방향으로 헤엄쳐 가장자리의 점 $B$ 에 닿은 뒤, 나머지는 가장자리를 따라 달린다고 해요.

• 헤엄치는 거리: 지름 위의 원주각 $\angle ABC=90^\circ$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 직각삼각형이고 $AB=AC\cos\theta=40\cos\theta$ 예요.
• 달리는 거리: 원주각 $\angle BAC=\theta$ 에 대한 중심각은 $2\theta$ 이므로, 반지름 $20$ 인 원에서 호 $BC$ 의 길이는 $20\cdot2\theta=40\theta$ 예요.

각 거리를 속력으로 나누면 헤엄치는 시간은 $\dfrac{40\cos\theta}{v}$, 달리는 시간은 $\dfrac{40\theta}{3v}$ 예요.

식을 완성해요. $$T(\theta)=\frac{40\theta}{3v}+\frac{40\cos\theta}{v}$$ 이 식을 $\theta$ 로 미분해 $0$ 이 되는 곳을 찾으면 시간이 가장 짧은 각을 구할 수 있어요.

왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.

거리의 제곱을 식으로 써요. $$D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$$

미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $$D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$$

최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.

점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.