빌드라인 스쿨

미적분Ⅱ · 미분법 · 8강

몫의 미분법과 합성함수의 미분법

분수꼴 함수와 겹친 함수 미분하기

5:55 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 3.3절 연습문제 12, 3.6절 연습문제 16 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

{f(g(x))}′=f′(g(x)) g′(x),dydx=dydu⋅dudx\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x),\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

(xr)′=rxr−1(x^r)'=rx^{r-1} (rr은 실수), {ln⁡∣f(x)∣}′=f′(x)f(x)\{\ln|f(x)|\}'=\frac{f'(x)}{f(x)}

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 T(x)T(x) 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}, 점 (1,−1)(1,-1)

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}} at (1,−1)(1,-1)

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

  1. 1

    분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

    y=2x−1−3x−2y=2x^{-1}-3x^{-2}

  2. 2

    (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 로 미분해요.

    y′=−2x−2+6x−3=−2x2+6x3y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}

  3. 3

    x=1x=1 에서의 기울기는 y′(1)=−2+6=4y'(1)=-2+6=4 예요.

  4. 4

    점 (1,−1)(1,-1) 을 지나고 기울기가 44 인 직선이에요.

    T(x)=4(x−1)−1=4x−5T(x)=4(x-1)-1=4x-5

    그래프에서도 곡선이 (1,−1)(1,-1) 에서 직선 T(x)T(x) 에 닿고, 이 직선이 yy 절편 −5-5 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 y(1)=−1y(1)=-1 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번

f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2x^3+4x^2-5x-3 의 그래프에서 x=−1x=-1 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

y=−7x−3y=-7x-3

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 접선의 방정식그래프·표 해석기본
2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번우리말 번역

다음 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=esin⁡xf(x)={e}^{\sin x}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

esin⁡xcos⁡x{e}^{\sin x}\cos x

이 문제로 이어서 풀기
# 다항함수의 미분법계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.6절 · 16번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(5−2x)−2y={(5-2x)}^{-2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for each function.

y=(5−2x)−2y={(5-2x)}^{-2}

답 쓰고 채점
풀이 보기

겉함수(거듭제곱)를 미분하고 속함수 5−2x5-2x 의 미분을 곱해요.

  1. 1

    u=5−2xu=5-2x 로 놓으면 y=u−2y=u^{-2} 이에요. 합성함수의 미분법은 dydx=dydu⋅dudx\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} 예요.

  2. 2

    dydu=−2u−3\dfrac{dy}{du}=-2u^{-3}, dudx=−2\dfrac{du}{dx}=-2 이므로

    dydx=−2(5−2x)−3⋅(−2)=4(5−2x)−3\frac{dy}{dx}=-2(5-2x)^{-3}\cdot(-2)=4(5-2x)^{-3}

  3. 3

    음의 지수를 분수로 바꾸면 4(5−2x)3\dfrac{4}{(5-2x)^3} 이에요.

답

4(5−2x)3\dfrac{4}{(5-2x)^{3}}

자주 하는 실수

속함수의 미분 −2-2 를 곱하는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

4(5−2x)3\frac{4}{{(5-2x)}^{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 34번우리말 번역

f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }} 의 도함수를 구하세요. 답을 간단히 하지 않아도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3=(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)13To begin the differentiation, we can choose our “outside" function to be g(x)=x13, and our “inside" function to be h(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x. Then f(x)=g(h(x)), so f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=13(h(x))−23h′(x):f′(x)=13(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)−23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}This leads us to use the quotient rule:=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))Let’s figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:ddx{ecsc⁡x2}=ecsc⁡x2ddx{csc⁡x2}=ecsc⁡x2⋅(−csc⁡(x2)cot⁡(x2))⋅ddx{x2}=−2xecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)For the other derivative, we start with the product rule, then chain:ddx{x3−9tan⁡x}=ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=12x3−9ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2xNow, we plug these into our equation for f′(x):f′(x)=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ (x3−9tan⁡x(−2x)ecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)−ecsc⁡x2(3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2x)(tan⁡2x)(x3−9))\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\\ &=\left({\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\right)^{\frac{1}{3}} \\ \text{To begin the differentiation, we can choose our ``outside" function to be $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$, and our ``inside" function to be $h(x)=\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }$. Then $f(x)=g(h(x))$, so $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{3}(h(x))^{-\frac{2}{3}}h'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right)^{\frac{-2}{3}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\}\\ &=\frac{1}{3} \left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\} \\ \text{This leads us to use the quotient rule:} \\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \\ \text{Let's figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}&=e^{ \csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \csc x^2\right\}=e^{\csc x^2}\cdot (-\csc( x^2)\cot( x^2))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\&=-2xe^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2) \\ \text{For the other derivative, we start with the product rule, then chain:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sqrt{x^3-9} \tan x \right\}&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\right\}\cdot\tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{1}{2\sqrt{ x^3-9}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^3-9\right\}\cdot \tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{3x^2 \tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x \\ \text{Now, we plug these into our equation for $f'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right)\\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}}\cdot\\ &~\left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x (-2x)e^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2)-e^{\csc x^2} \left(\frac{3x^2\tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\right)}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 합성함수의 미분법계산기본
4.OpenStax 1권 · 3.6절 · 38번우리말 풀이

아래 표의 정보를 이용하여 주어진 aa 에서 h′(a)h'(a) 를 구하세요.

xx f(x)f(x) f′(x)f'(x) g(x)g(x) g′(x)g'(x)
0 2 5 0 2
1 1 −2 3 0
2 4 4 1 −1
3 3 −3 2 3

h(x)=g(2+f(x2)); a=1h(x)=g(2+f({x}^{2}));\ a=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the information in the following table to find h′(a){h}^{'}(a) at the given value for a.a.

xx f(x)f(x) f′(x)f'(x) g(x)g(x) g′(x)g'(x)
0 2 5 0 2
1 1 −2 3 0
2 4 4 1 −1
3 3 −3 2 3

h(x)=g(2+f(x2));a=1h(x)=g(2+f({x}^{2}));a=1

답 쓰고 채점
풀이 보기

바깥에서 안쪽으로 한 겹씩 벗기며 미분해서 곱하고, 값은 표에서 읽어요.

  1. 1

    hh 는 세 겹 합성함수예요. 바깥부터 한 겹씩 미분해서 곱해요.

    h′(x)=g′(2+f(x2))⋅f′(x2)⋅2xh'(x)=g'\big(2+f(x^2)\big)\cdot f'(x^2)\cdot 2x

  2. 2

    x=1x=1 을 넣어요. 안쪽부터 값을 구하면 x2=1x^2=1, f(1)=1f(1)=1 (표), 그래서 2+f(1)=32+f(1)=3 이에요.

    h′(1)=g′(3)⋅f′(1)⋅2h'(1)=g'(3)\cdot f'(1)\cdot 2

  3. 3

    표에서 g′(3)=3g'(3)=3, f′(1)=−2f'(1)=-2 를 읽어요.

    h′(1)=3⋅(−2)⋅2=−12h'(1)=3\cdot(-2)\cdot2=-12

답

−12-12

자주 하는 실수

x2x^2 의 미분 2x2x 를 빠뜨리거나, g′g' 에 넣을 값을 33 이 아니라 f(1)=1f(1)=1 로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−12-12

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.6절 · 16번

다음 함수에 대하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(5−2x)−2y={(5-2x)}^{-2}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

4(5−2x)3\dfrac{4}{(5-2x)^{3}}

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 합성함수의 미분법계산보통

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기