미적분Ⅱ · 수열의 극한 · 3강

급수

Name: 미적분Ⅱ 3강 급수
Uploaded: 2026-10-24T04:04:57.117Z
Duration: 5 min 31 s
Description: 부분합의 극한으로 정의되는 무한 개의 합

부분합의 극한으로 정의되는 무한 개의 합

5:31 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: Gregory Hartman et al., APEX Calculus, Version 5.0 (source: github.com/APEXCalculus/APEXCalculusV5). CC BY-NC 4.0. https://www.apexcalculus.com/ · 8.2절 연습문제 38·15. 원문 파일: https://github.com/APEXCalculus/APEXCalculusV5/blob/master/exercises/08_02_ex_26.tex · https://github.com/APEXCalculus/APEXCalculusV5/blob/master/exercises/08_02_ex_28.tex. 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상은 비영리 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

부분합 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ 의 극한이 급수의 합입니다: $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$

급수 $\sum a_n$ 이 수렴하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ 입니다. 역은 성립하지 않습니다. (예: $\sum\frac{1}{n}$ 은 발산)

그래서 $\lim_{n\to\infty}a_n\ne0$ 이면 급수 $\sum a_n$ 은 발산합니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

다 풀었으면 정답 확인

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

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# 급수의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번

[계산기 사용] 환자 몸속의 약의 양이 매시간 일정한 비율 $r<1$ 배로 줄어든다고 합시다. 새 약은 $N$ 시간마다 투여합니다. 투여량 $d$ 와 비율 $r$ 로, 각 $n$ 에 대해 $n$ 시간 후 환자 몸속의 약의 양 $A(n)$ 을 나타내는 식을 구하세요. (힌트: $n=mN+k$ ( $0\le k<N$ ) 로 쓰고, 서로 다른 투여분을 모두 더하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

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# 등비급수개념 확인기본

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac59$

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# 급수의 수렴과 발산계산도전

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번우리말 풀이

영어 원문 보기

[T] Suppose that the amount of a drug in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor $r<1$ each hour. Suppose that a new dose is administered every $N$ hours. Find an expression that gives the amount $A(n)$ in the patient’s system after $n$ hours for each $n$ in terms of the dosage $d$ and the ratio $r.$ (Hint: Write $n=mN+k,$ where $0\le k<N,$ and sum over values from the different doses administered.)

풀이 보기

각 투여분은 따로 줄어들고, 몸속의 양은 그 투여분들을 모두 더한 값이에요(첫 투여는 시각 $0$ 으로 봐요).

1
투여 시각을 정리해요. 투여는 시각 $0,\ N,\ 2N,\ \ldots$ 에 이뤄지고, $n=mN+k$ 이면 시각 $n$ 까지 $m+1$ 번(시각 $0,N,\ldots,mN$ ) 투여한 거예요.
2
한 번의 투여분이 남는 양을 구해요. 시각 $lN$ 에 투여한 약 $d$ 는 $n-lN$ 시간 동안 매시간 $r$ 배가 되니 $d\,r^{\,n-lN}$ 이 남아요.
3
모두 더해요. $A(n)=\sum_{l=0}^{m}d\,r^{\,n-lN}$ $q=m-l$ 로 바꾸면 $n-lN=k+mN-lN=k+qN$ 이므로 $A(n)=\sum_{q=0}^{m}d\,r^{\,k+qN}=d\,r^{k}\sum_{q=0}^{m}\left(r^{N}\right)^{q}$
4
등비수열의 합 공식을 써요. 첫째항 $1$ , 공비 $r^N$ , 항의 수 $m+1$ 이니 $A(n)=d\,r^{k}\cdot\frac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}},\qquad n=mN+k$

답

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

자주 하는 실수

항의 수를 $m$ 개로 세어 $1-r^{mN}$ 으로 쓰는 실수가 있어요(투여 횟수는 $m+1$ 번).

원본 교재 풀이(영어)

The part of the first dose after $n$ hours is $d{r}^{n},$ the part of the second dose is $d{r}^{n-N},$ and, in general, the part remaining of the $m\text{th}$ dose is $d{r}^{n-mN},$ so

$A(n)=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{n-lN}=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{k+(m-l)N}=\sum_{q=0}^{m}d{r}^{k+qN}=d{r}^{k}\sum_{q=0}^{m}{r}^{Nq}=d{r}^{k}\frac{1-{r}^{(m+1)N}}{1-{r}^{N}},n=k+mN.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

다 풀었으면 정답 확인

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 등비급수활용도전

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