빌드라인 스쿨

미적분Ⅱ · 미분법 · 6강

삼각함수의 덧셈정리와 극한

덧셈정리와 sin x / x의 극한

5:49 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 1.3절 연습문제 27 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1); Joel Feldman, Andrew Rechnitzer, Elyse Yeager, CLP-1 Differential Calculus (Problem Book). CC BY-NC-SA 4.0. https://www.math.ubc.ca/~CLP/CLP1/ · 2.8절 연습문제 18. 원문 파일: https://github.com/arechnitzer/CLP1/blob/master/latex/problembook/problems/prob_s2.8.tex. 문제를 우리말로 옮기고 그림을 새로 그렸으며, 이 영상은 비영리 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

lim⁡x→0sin⁡xx=1(x는 라디안)\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\quad(x\text{는 라디안})

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 1.3절 · 1번우리말 풀이

다음 각을 호도법(라디안)으로 바꾸세요. 답은 π\pi 의 배수로 쓰세요.

240∘240^\circ

영어 원문 보기

For the following exercises, convert each angle in degrees to radians. Write the answer as a multiple of π.\pi .

240∘240^\circ

답 쓰고 채점
라디안
풀이 보기

180∘=π180^\circ=\pi 라디안이므로, 도 단위 각에 π180\frac{\pi}{180} 를 곱하면 돼요.

  1. 1

    180∘180^\circ 가 π\pi 라디안이므로 1∘=π1801^\circ=\dfrac{\pi}{180} 라디안이에요. 그래서 각에 π180\dfrac{\pi}{180} 를 곱해요.

    240∘=240×π180240^\circ=240\times\frac{\pi}{180}

  2. 2

    분수를 약분해요. 240240 과 180180 의 최대공약수는 6060 이므로

    240π180=4π3\frac{240\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}

답

4π3\dfrac{4\pi}{3} 라디안

자주 하는 실수

180π\frac{180}{\pi} 를 곱해서 거꾸로 계산해요.

원본 교재 풀이(영어)

4π3 rad\frac{4\pi }{3}\,\text{rad}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 1.3절 · 27번

사인과 코사인으로 바꿔 쓴 다음 다음 식을 간단히 하세요. 최종 답이 꼭 사인·코사인만으로 되어 있을 필요는 없어요.

tan⁡2x+sin⁡xcsc⁡x\tan^{2}x+\sin x\csc x

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

sec⁡2x\sec^{2}x

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# 삼각함수계산기본
2.OpenStax 1권 · 1.3절 · 27번우리말 풀이

사인과 코사인으로 바꿔 쓴 다음 다음 식을 간단히 하세요. 최종 답이 꼭 사인·코사인만으로 되어 있을 필요는 없어요.

tan⁡2x+sin⁡xcsc⁡x\tan^{2}x+\sin x\csc x

영어 원문 보기

For the following exercises, simplify each expression by writing it in terms of sines and cosines, then simplify. The final answer does not have to be in terms of sine and cosine only.

tan⁡2x+sin⁡xcsc⁡x{\tan }^{2}x+\sin x\csc x

답 쓰고 채점
풀이 보기

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x} 로 바꾸면 sin⁡xcsc⁡x=1\sin x\csc x=1 이 되고, 나머지는 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 로 정리돼요.

  1. 1

    먼저 사인과 코사인으로 바꿔요. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\dfrac{1}{\sin x} 이므로

    tan⁡2x+sin⁡xcsc⁡x=sin⁡2xcos⁡2x+sin⁡x⋅1sin⁡x=sin⁡2xcos⁡2x+1\tan^2x+\sin x\csc x=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1

  2. 2

    통분해서 한 분수로 만들어요.

    sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡2xcos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xcos⁡2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}

  3. 3

    sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 이므로 분자는 11 이에요. 1cos⁡x=sec⁡x\dfrac{1}{\cos x}=\sec x 이므로

    1cos⁡2x=sec⁡2x\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x

답

sec⁡2x\sec^{2}x

자주 하는 실수

sin⁡xcsc⁡x\sin x\csc x 를 sin⁡2x\sin^2 x 로 착각해요. 둘은 역수 관계라서 곱이 11 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

sec⁡2x{\sec }^{2}x

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 1.3절 · 61번

[계산기 사용] 땅 위를 구르는 바퀴의 지름이 40 인치예요. 바퀴가 120∘120^\circ 만큼 회전하면 몇 인치를 움직이나요? 가장 가까운 정수로 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

약 4242 인치

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# 삼각함수계산기본
3.OpenStax 1권 · 1.3절 · 61번우리말 풀이

[계산기 사용] 땅 위를 구르는 바퀴의 지름이 40 인치예요. 바퀴가 120∘120^\circ 만큼 회전하면 몇 인치를 움직이나요? 가장 가까운 정수로 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] The diameter of a wheel rolling on the ground is 40 in. If the wheel rotates through an angle of 120∘,120^\circ , how many inches does it move? Approximate to the nearest whole inch.

풀이 보기

굴러가는 바퀴가 움직인 거리는 바퀴 둘레에서 회전한 만큼의 호의 길이 l=rθl=r\theta 와 같아요.

  1. 1

    바퀴가 미끄러지지 않고 구르면 땅 위를 간 거리는 바퀴 가장자리가 지나간 호의 길이와 같아요. 호의 길이 공식 l=rθl=r\theta 에서 각 θ\theta 는 라디안이어야 해요.

    지름이 4040 이므로 반지름은 r=20r=20 이에요.

  2. 2

    120∘120^\circ 를 라디안으로 바꿔요.

    120∘=120×π180=2π3120^\circ=120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}

  3. 3

    호의 길이를 구해요.

    l=rθ=20×2π3=40π3≈41.89l=r\theta=20\times\frac{2\pi}{3}=\frac{40\pi}{3}\approx41.89

    가장 가까운 정수로 어림하면 4242 예요.

답

약 4242 인치

자주 하는 실수

각을 도 단위 그대로 l=rθl=r\theta 에 넣거나, 지름 4040 을 반지름으로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

Approximately 42 in.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 1.3절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 도로 나타낸 각을 라디안으로 바꾸세요. 답은 π\pi 의 배수로 나타내세요.

−60∘-60^\circ

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

−π3\frac{-\pi }{3}

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수활용기본
4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 17번우리말 풀이

직접 대입을 써서 각 극한이 0/00/0 꼴임을 보인 다음, 극한값을 구하세요.

lim⁡θ→πsin⁡θtan⁡θ\lim_{\theta \to \pi }\frac{\sin \theta }{\tan \theta }

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form 0/0.0/0. Then, evaluate the limit.

lim⁡θ→πsin⁡θtan⁡θ\lim_{\theta \to \pi }\frac{\sin \theta }{\tan \theta }

풀이 보기

tan⁡θ\tan\theta 를 sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} 로 바꾸면 분모·분자의 sin⁡θ\sin\theta 가 약분돼요.

  1. 1

    먼저 θ=π\theta=\pi 를 그대로 넣어 봐요.

    sin⁡πtan⁡π=00\frac{\sin\pi}{\tan\pi}=\frac{0}{0}

    0/00/0 꼴이라 값을 바로 알 수 없으니 식을 바꿔야 해요.

  2. 2

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 를 써서 분모를 바꿔요.

    sin⁡θtan⁡θ=sin⁡θsin⁡θcos⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\sin\theta\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

  3. 3

    θ≠π\theta\neq\pi 인 동안 sin⁡θ≠0\sin\theta\neq0 이므로 약분할 수 있어요. 식이 cos⁡θ\cos\theta 가 돼요.

    lim⁡θ→πcos⁡θ=cos⁡π=−1\lim_{\theta\to\pi}\cos\theta=\cos\pi=-1

답

−1-1

자주 하는 실수

0/00/0 이라고 해서 극한이 00 이거나 없다고 결론내요. 0/00/0 은 식을 정리해야 알 수 있는 꼴이에요.

원본 교재 풀이(영어)

lim⁡θ→πsin⁡θtan⁡θ=sin⁡πtan⁡π=00;\lim_{\theta \to \pi }\frac{\sin \theta }{\tan \theta }=\frac{\sin \pi }{\tan \pi }=\frac{0}{0}; then, lim⁡θ→πsin⁡θtan⁡θ=lim⁡θ→πsin⁡θsin⁡θcos⁡θ=lim⁡θ→πcos⁡θ=−1\lim_{\theta \to \pi }\frac{\sin \theta }{\tan \theta }=\lim_{\theta \to \pi }\frac{\sin \theta }{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}=\lim_{\theta \to \pi }\cos \theta =-1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번

[계산기 사용] 함수 f(x)=x⋅5xf(x)=x\cdot 5^{x} 의 그래프 위의 점 x=1x=1 에서 법선(접선에 수직인 직선)의 방정식을 구하세요. 함수와 법선을 함께 그래프로 그려 보세요.

다 풀었으면 정답 확인

y=−15+5ln⁡5x+(5+15+5ln⁡5)y=-\dfrac{1}{5+5\ln5}x+\left(5+\dfrac{1}{5+5\ln5}\right)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 지수·로그·삼각함수의 극한계산기본

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