미적분Ⅱ · 적분법 · 15강

정적분과 급수의 합

Name: 미적분Ⅱ 15강 정적분과 급수의 합
Uploaded: 2026-10-24T08:09:10.125Z
Duration: 5 min 13 s
Description: 급수의 극한을 정적분으로 바꾸기(구분구적법)

급수의 극한을 정적분으로 바꾸기(구분구적법)

5:13 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Calculus Volume 1, 5.2절 연습문제 6, 8 (Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1). 문제를 우리말로 옮기고 그래프를 새로 그렸으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right)\frac{b-a}{n}=\int_a^b f(x)\,dx$

$\frac{k}{n}$ 을 $x$ 로, $\frac{1}{n}$ 을 $dx$ 로 바꿔 읽으면 급수의 극한을 정적분으로 계산할 수 있습니다.

연습문제

원문 · OpenStax Calculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번우리말 풀이

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 에 대한 $L_{100}$ 과 $R_{100}$ 을 구하세요. ( $L_{100}$ 은 구간을 100등분해 각 작은 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합, $R_{100}$ 은 오른쪽 끝점을 쓴 합이에요.)

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{2}$ on the interval $[0,1]$

풀이 보기

구간을 100등분하고, 직사각형의 높이를 왼쪽 또는 오른쪽 끝점의 함숫값으로 잡아 더해요.

1
구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.
2
오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$ 이에요.
3
제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.
4
왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.
5
그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

답

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자주 하는 실수

합의 범위를 헷갈려 $L$ 에도 $i=1\sim100$ 을 쓰면 $R$ 과 같은 값이 나와요. $L$ 은 $i=0\sim99$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function on the interval (0, 1). It is set up for a left endpoint approximation and is an underestimate because the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${R}_{100}=0.33835,{L}_{100}=0.32835.$ The plot shows that the left Riemann sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, the right Riemann sum is an overestimate. The area lies between the left and right Riemann sums. Ten rectangles are shown for visual clarity. This behavior persists for more rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

다 풀었으면 정답 확인

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번우리말 번역

다음 연습문제에서, 왼쪽(L) 끝점과 오른쪽(R) 끝점에서의 값의 평균을 이용하여, 주어진 점들의 목록을 지나는 그래프를 가진 구간별로 정의된 일차함수의 적분을 주어진 구간에서 계산하세요.

구간 $[0,8]$ 에서 $\{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)\}$

다 풀었으면 정답 확인

$L=2+0+10+5+4=21,R=0+10+10+2+0=22,\frac{L+R}{2}=21.5$

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산기본

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번우리말 풀이

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

영어 원문 보기

[T] Compute the left and right Riemann sums, L₁₀ and R₁₀, and their average $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ for $f(t)=(4-{t}^{2})$ over $[1,2].$ Given that ${\int }_{1}^{2}(4-{t}^{2})dt=1.\overset{-}{66},$ to how many decimal places is $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ accurate?

풀이 보기

한 칸의 폭 $0.1$ 에 높이를 곱해 더하고, 왼쪽과 오른쪽의 평균을 내면 오차가 크게 줄어요.

1
구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.
2
왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$ , 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.
3
오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.
4
평균은 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.
5
실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값( $1.66$ )이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

답

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

자주 하는 실수

왼쪽 합에 $i=1\sim10$ 을 쓰는 등 합의 범위를 바꿔 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}=1.815,{R}_{10}=1.515,\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}=1.665,$ so the estimate is accurate to two decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번

다음 표는 2012년 투르 드 프랑스 1구간 마지막 18초 동안 피터 사간의 초당 평균 출력(와트)을 추정한 자료예요.

평균 출력

초	와트	초	와트
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

출처: sportsexercisengineering.com

$1\text{W}=1\text{J/s}$ 임을 이용하여, 이 구간 동안 쓴 순 에너지를 킬로줄(kJ) 단위로 추정하고, 이 시간 동안의 평균 출력도 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

순 에너지 약 $17\text{ kJ}$ , 평균 출력 약 $944\text{ W}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

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