미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.7절 · 10번

# 미분가능성과 연속성증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

3.CLP-1 · 2.2절 · 11번우리말 번역

$f(x) = x|x|$ 라 하자. 도함수의 정의를 이용하여 $f(x)$ 가 $x = 0$ 에서 미분가능함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = x|x|$ . Using the definition of the derivative, show that $f(x)$ is differentiable at $x = 0$ .

정답·풀이 보기

정의에 의해 $f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h|h|}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}|h|=0$ 특히 극한이 존재하므로 미분계수가 존재한다(그리고 그 값은 0이다).

원본 교재 풀이(영어)

By definition $f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h|h|}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}|h|=0$ In particular, the limit exists, so the derivative exists (and is equal to zero).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 18번

# 도함수의 뜻증명·논술보통자동 분류

4.CLP-1 · 2.2절 · 16번우리말 번역

다음 함수가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 상수 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} x^2 & x\le 2\\ ax + b & x > 2 \end{array}\right. \end{aligned}$

참고: 교재에서 $x^2$ 과 $ax+b$ 의 도함수는 이미 배웠다. 이 문제에서는 $a$ , $b$ 의 값만 구하면 되고 그 값을 구한 과정을 정당화할 필요는 없으므로, 도함수의 정의를 사용하지 않아도 된다. 그러나 시험에서는 답의 근거를 설명하라고 할 수 있으며, 그 경우에는 도함수의 정의를 이용하여 $f(x)$ 의 두 부분을 각각 어떻게 미분하는지 보여야 한다.

영어 원문 보기

Find the values of the constants $a$ and $b$ for which

$\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} x^2 & x\le 2\\ ax + b & x > 2 \end{array}\right. \end{aligned}$

is differentiable everywhere.

Remark: In the text, you have already learned the derivatives of $x^2$ and $ax+b$ . In this question, you are only asked to find the values of $a$ and $b$ —not to justify how you got them—so you don't have to use the definition of the derivative. However, on an exam, you might be asked to justify your answer, in which case you would show how to differentiate the two branches of $f(x)$ using the definition of a derivative.

정답·풀이 보기

$x$ 가 2가 아닐 때 이 함수는 미분가능하므로, 따져 보아야 할 곳은 $x$ 가 정확히 2일 때뿐이다.

$f$ 가 $x=2$ 에서 미분가능하려면 $x=2$ 에서 연속이기도 해야 한다. 따라서 $x^2\big|_{x=2}=\big[ax+b\big]_{x=2}$ 이므로 $2a+b=4$ 이다.

극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 한다. 미분계수는 극한이므로, $f$ 가 $x=2$ 에서 미분가능하려면 $x=2$ 에서 $ax+b$ 의 좌미분계수가 $x=2$ 에서 $x^2$ 의 우미분계수와 같아야 한다. $ax+b$ 는 직선이므로 그 도함수는 어디에서나 $a$ 이다. 이미 $x^2$ 의 도함수가 $2x$ 임을 알고 있으므로 $a=2x\big|_{x=2}=4$ 이어야 한다.

따라서 $f$ 가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 $a$ , $b$ 의 값은 $a=4$ , $b=-4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

When $x$ is not equal to 2, then the function is differentiable– the only place we have to worry about is when $x$ is exactly 2.

In order for $f$ to be differentiable at $x=2$ , it must also be continuous at $x=2$ . This forces $x^2\big|_{x=2}=\big[ax+b\big]_{x=2}$ or $2a+b=4.$

In order for a limit to exist, the left- and right-hand limits must exist and be equal to each other. Since a derivative is a limit, in order for $f$ to be differentiable at $x=2$ , the left hand derivative of $ax+b$ at $x=2$ must be the same as the right hand derivative of $x^2$ at $x=2$ . Since $ax+b$ is a line, its derivative is $a$ everywhere. We've already seen the derivative of $x^2$ is $2x$ , so we need $a=2x\big|_{x=2}=4.$

So, the values of $a$ and $b$ that makes $f$ differentiable everywhere are $a=4$ and $b=-4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 15번

# 도함수의 뜻증명·논술보통자동 분류

5.CLP-1 · 2.13절 · 7번우리말 번역

$f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(2\pi)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c$ 가 $(0,2\pi)$ 에 존재한다고 결론지을 수 있다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(2\pi)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we conclude that there exists $c$ in $(0,2\pi)$ such that $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

6.CLP-1 · 2.13절 · 8번우리말 번역

$f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(1)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c\in (0,1)$ 이 존재함을 얻는다. $f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(1)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists $c\in (0,1)$ such that $f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 9번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

7.CLP-1 · 2.13절 · 9번우리말 번역

$f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(2\pi)=\sqrt{3} + \pi^2$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여( $3+\sin x>0$ 이므로 이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c\in (0,2\pi)$ 가 존재함을 얻는다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(2\pi)=\sqrt{3} + \pi^2$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers since $3+\sin x>0$ ), we get that there exists $c\in (0,2\pi)$ such that $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

8.CLP-1 · 2.13절 · 10번우리말 번역

$f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ 라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=0$ 이고 $f(\pi/4)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능함에 유의한다) $c\in (0,\pi/4)$ 이고 $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$ 인 $c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=0$ and $f(\pi/4)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists $c\in (0,\pi/4)$ such that $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

9.CLP-1 · 3.6절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}$ $f(x)$ 가 우함수임을 보이세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}$ Show that $f(x)$ is even.

정답·풀이 보기

함수가 우함수이려면 $f(-x)=f(x)$ 이어야 한다.

$\begin{aligned} f(-x)&=\frac{(-x)^4-(-x)^6}{e^{(-x)^2}}\\ &=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}\\ &=f(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 는 우함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A function is even if $f(-x)=f(x)$ .

$\begin{aligned} f(-x)&=\frac{(-x)^4-(-x)^6}{e^{(-x)^2}}\\ &=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}\\ &=f(x) \end{aligned}$

So, $f(x)$ is even.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술보통자동 분류

10.CLP-1 · 3.6절 · 6번우리말 번역

$f(x)=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ $f(x)$ 가 주기함수임을 보이세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ Show that $f(x)$ is periodic.

정답·풀이 보기

임의의 실수 $x$ 에 대해 $f(x)=f(x+4\pi)$ 임을 보이겠다.

$\begin{aligned} f(x+4\pi)&=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x+4\pi}{2}\right)\\ &=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)\\ &=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\ &=f(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 는 주기함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

For any real number $x$ , we will show that $f(x)=f(x+4\pi)$ .

$\begin{aligned} f(x+4\pi)&=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x+4\pi}{2}\right)\\ &=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)\\ &=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\ &=f(x) \end{aligned}$

So, $f(x)$ is periodic.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술보통자동 분류

미분 전체 문제