미분방정식의 기초 연습문제

21.OpenStax 2권 · 4.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${y}^{'}={4}^{x}$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${y}^{'}={4}^{x}$

정답·풀이 보기

$y=C+\frac{{4}^{x}}{\ln (4)}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=C+\frac{{4}^{x}}{\ln (4)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 25번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 4.1절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${y}^{'}={\sin }^{-1}(2x)$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${y}^{'}={\sin }^{-1}(2x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 61번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 4.1절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${y}^{'}=2t\sqrt{{t}^{2}+16}$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${y}^{'}=2t\sqrt{{t}^{2}+16}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$y=\frac{2}{3}\sqrt{{t}^{2}+16}({t}^{2}+16)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{2}{3}\sqrt{{t}^{2}+16}({t}^{2}+16)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 23번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 4.1절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${x}^{'}=\coth t+\ln t+3{t}^{2}$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${x}^{'}=\coth t+\ln t+3{t}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 27번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 4.1절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${x}^{'}=t\sqrt{4+t}$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${x}^{'}=t\sqrt{4+t}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}(3{t}^{2}+4t-32)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}(3{t}^{2}+4t-32)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 47번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 4.1절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${y}^{'}=y$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${y}^{'}=y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 23번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 4.1절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분방정식의 일반해를 구하세요.

${y}^{'}=\frac{y}{x}$

영어 원문 보기

For the following problems, find the general solution to the differential equation.

${y}^{'}=\frac{y}{x}$

정답·풀이 보기

$y=Cx$

원본 교재 풀이(영어)

$y=Cx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 27번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 4.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 ${y}_{0}=10$ 에서 시작하여 푸세요. $y$ 는 어느 시각에 $100$ 으로 증가하거나 $1$ 로 감소하나요?

$\frac{dy}{dt}=4t$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from ${y}_{0}=10.$ At what time does $y$ increase to $100$ or drop to $1?$

$\frac{dy}{dt}=4t$

정답·풀이 보기

$y=2({t}^{2}+5),t=3\sqrt{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=2({t}^{2}+5),t=3\sqrt{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 45번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 4.1절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 ${y}_{0}=10$ 에서 시작하여 푸세요. $y$ 는 어느 시각에 $100$ 으로 증가하거나 $1$ 로 감소하나요?

$\frac{dy}{dt}=4y$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from ${y}_{0}=10.$ At what time does $y$ increase to $100$ or drop to $1?$

$\frac{dy}{dt}=4y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 47번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 4.1절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 ${y}_{0}=10$ 에서 시작하여 푸세요. $y$ 는 어느 시각에 $100$ 으로 증가하거나 $1$ 로 감소하나요?

$\frac{dy}{dt}=-2y$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from ${y}_{0}=10.$ At what time does $y$ increase to $100$ or drop to $1?$

$\frac{dy}{dt}=-2y$

정답·풀이 보기

$y=10{e}^{-2t},t=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{10}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$y=10{e}^{-2t},t=-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{10}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 35번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 4.1절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 ${y}_{0}=10$ 에서 시작하여 푸세요. $y$ 는 언제 $100$ 으로 증가하거나 $1$ 로 감소합니까?

$\frac{dy}{dt}={e}^{4t}$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from ${y}_{0}=10.$ At what time does $y$ increase to $100$ or drop to $1?$

$\frac{dy}{dt}={e}^{4t}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 25번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 4.1절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 ${y}_{0}=10$ 에서 시작하여 푸세요. $y$ 는 언제 $100$ 으로 증가하거나 $1$ 로 감소합니까?

$\frac{dy}{dt}={e}^{-4t}$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from ${y}_{0}=10.$ At what time does $y$ increase to $100$ or drop to $1?$

$\frac{dy}{dt}={e}^{-4t}$

정답·풀이 보기

$y=\frac{1}{4}(41-{e}^{-4t})$ , 없다(도달하지 않는다)

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{1}{4}(41-{e}^{-4t}),$ never

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 37번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 4.1절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제에서, 계산기를 사용하여 공이 중력가속도가 $g=-9.8m/{s}^{2}$ 인 화성에서 얼마나 더 높이 올라갔는지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] For the previous problem, use your calculator to approximate how much higher the ball went on Mars, where $g=-9.8m/{s}^{2}$ .

답 쓰고 채점

m(미터)

정답·풀이 보기

$52.354$ 미터

원본 교재 풀이(영어)

$52.354$ meters

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 23번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 4.1절 · 65번대학 수준우리말 번역

초기 조건 $y(0)=0$ 일 때 ${y}^{'}={e}^{kt}$ 을 풀고, 같은 초기 조건에서 ${y}^{'}=1$ 을 푸세요. $k$ 가 $0$ 에 가까워질 때, 무엇을 알 수 있나요?

영어 원문 보기

Solve ${y}^{'}={e}^{kt}$ with the initial condition $y(0)=0$ and solve ${y}^{'}=1$ with the same initial condition. As $k$ approaches $0,$ what do you notice?

정답·풀이 보기

$y=\frac{1}{k}({e}^{kt}-1)$ 이고 $y=x$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{1}{k}({e}^{kt}-1)$ and $y=x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 55번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류

35.Active Calculus · 7.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

이 문제에서는 함수가 주어진 미분방정식의 해가 된다는 것이 무슨 뜻인지 더 알아봅니다.

(a) 미분방정식 $\frac{dy}{dt} = y - t\,$ 을 생각합니다. 다음 함수가 주어진 미분방정식의 해인지 각각 판단하세요. (i) $y(t) = t + 1 + 2e^t$ (ii) $y(t) = t + 1$ (iii) $y(t) = t + 2$ (b) 식료품점의 저울에 바나나를 올려 무게를 잴 때, 바나나의 높이 $h$ 는 미분방정식 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh$ 로 나타내집니다. 여기서 $k$ 는 용수철 상수로, 저울에 들어 있는 용수철의 성질에 따라 정해지는 상수입니다. 바나나를 저울에 올린 뒤, 여러분이 (영리하게도) 바나나의 높이가 $h(t) = 4\sin(3t)$ 로 주어짐을 관찰했습니다. 용수철 상수의 값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

In this problem, we test further what it means for a function to be a solution to a given differential equation.

(a) Consider the differential equation $\frac{dy}{dt} = y - t\,.$ Determine whether the following functions are solutions to the given differential equation. (i) $y(t) = t + 1 + 2e^t$ (ii) $y(t) = t + 1$ (iii) $y(t) = t + 2$ (b) When you weigh bananas in a scale at the grocery store, the height $h$ of the bananas is described by the differential equation $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh$ where $k$ is the spring constant, a constant that depends on the properties of the spring in the scale. After you put the bananas in the scale, you (cleverly) observe that the height of the bananas is given by $h(t) = 4\sin(3t)$ . What is the value of the spring constant?

정답·풀이 보기

(a) (i) $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 가 $\frac{dy}{dt} = y - t$ 의 해인지 알아보기 위해, $\frac{dy}{dt}$ 와 $y - t$ 를 각각 계산하여 서로 같은지 확인한다. 먼저 $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 이므로 $\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^t\,.$ 다음으로 $y - t = ( t + 1 + 2e^t ) - t = 1 + 2e^t\,.$ 따라서 $y(t) = t + 1 + 2e^t$ 는 이 미분방정식을 만족하므로 실제로 해이다. (ii) $y(t) = t + 1$ 일 때, $\frac{dy}{dt} = 1$ 이고 $y - t = 1$ 이기도 하므로, $y(t) = t + 1$ 은 이 미분방정식의 해이다. (iii) $y(t) = t + 2$ 이면 $\frac{dy}{dt} = 1$ 이지만 $y - t = 2$ 이므로 $\frac{dy}{dt} \ne y-t$ 이고, 따라서 $y(t) = t + 2$ 는 이 미분방정식의 해가 아니다. (b) $h(t) = 4\sin(3t)$ 가 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,$ 의 해가 되려면 이 식이 참이 되어야 한다. $k$ 를 구하기 위해 $h$ 의 식을 미분방정식에 대입하여 $k$ 에 필요한 조건을 알아본다. $h(t) = 4\sin(3t)$ 에 대하여 $\frac{dh}{dt} = 12\cos(3t)$ 이고 $\frac{d^2h}{dt^2} = -36\sin(3t)\,.$ 미분방정식 $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,$ 를 만족하려면 $-36\sin(3t) = -kh = -k \cdot 4\sin(3t)$ 이어야 한다. 따라서 $-36 = -4k$ 이어야 하고, 그러므로 $k = 9$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) (i) To see if $y(t) = t + 1 + 2e^t$ is a solution to $\frac{dy}{dt} = y - t$ , we compute $\frac{dy}{dt}$ and $y - t$ separately and see if they are equal. First, using $y(t) = t + 1 + 2e^t$ , $\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^t\,.$ Next, $y - t = ( t + 1 + 2e^t ) - t = 1 + 2e^t\,.$ Thus, $y(t) = t + 1 + 2e^t$ satisfies the DE and is indeed a solution. (ii) For $y(t) = t + 1$ , observe that $\frac{dy}{dt} = 1$ and $y - t = 1$ as well, so $y(t) = t + 1$ is a solution to the DE. (iii) If $y(t) = t + 2$ , then $\frac{dy}{dt} = 1$ but $y - t = 2$ as well, so $\frac{dy}{dt} \ne y-t$ , and therefore $y(t) = t + 2$ is a not solution to the DE. (b) In order for $h(t) = 4\sin(3t)$ to be a solution to $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,,$ it must make the equation true. To find $k$ , we substitute the formula for $h$ into the DE and see what is required of $k$ . We observe that for $h(t) = 4\sin(3t)$ , $\frac{dh}{dt} = 12\cos(3t)$ and $\frac{d^2h}{dt^2} = -36\sin(3t)\,.$ To satisfy the DE $\frac{d^2h}{dt^2} = -kh\,,$ it follows that we must have $-36\sin(3t) = -kh = -k \cdot 4\sin(3t)$ . Thus, we need $-36 = -4k$ , and hence $k = 9$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 41번

# 미분방정식의 기초계산자동 분류