미분방정식의 기초 연습문제

1.OpenStax 2권 · 4.1절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 $y(0)=1$ 과 $y(0)=-1$ 에서 시작하여 푸세요. 두 해를 같은 좌표평면에 그래프로 그리세요.

$\frac{dy}{dt}=2t$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from $y(0)=1$ and $y(0)=-1.$ Draw both solutions on the same graph.

$\frac{dy}{dt}=2t$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 49번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 2권 · 4.1절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 $y(0)=1$ 과 $y(0)=-1$ 에서 시작하여 푸세요. 두 해를 같은 좌표평면에 그래프로 그리세요.

$\frac{dy}{dt}=-t$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from $y(0)=1$ and $y(0)=-1.$ Draw both solutions on the same graph.

$\frac{dy}{dt}=-t$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=1-\frac{{t}^{2}}{2},y=-\frac{{t}^{2}}{2}-1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=1-\frac{{t}^{2}}{2},y=-\frac{{t}^{2}}{2}-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 7번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 2권 · 4.1절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 $y(0)=1$ 과 $y(0)=-1$ 에서 시작하여 푸세요. 두 해를 같은 좌표평면에 그래프로 그리세요.

$\frac{dy}{dt}=2y$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from $y(0)=1$ and $y(0)=-1.$ Draw both solutions on the same graph.

$\frac{dy}{dt}=2y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 55번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 2권 · 4.1절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 $y(0)=1$ 과 $y(0)=-1$ 에서 시작하여 푸세요. 두 해를 같은 그래프에 그리세요.

$\frac{dy}{dt}=-y$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from $y(0)=1$ and $y(0)=-1.$ Draw both solutions on the same graph.

$\frac{dy}{dt}=-y$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y={e}^{-t},y=-{e}^{-t}$

원본 교재 풀이(영어)

$y={e}^{-t},y=-{e}^{-t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 43번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 2권 · 4.1절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 $y(0)=1$ 과 $y(0)=-1$ 에서 시작하여 푸세요. 두 해를 같은 그래프에 그리세요.

$\frac{dy}{dt}=2$

영어 원문 보기

Solve the following initial-value problems starting from $y(0)=1$ and $y(0)=-1.$ Draw both solutions on the same graph.

$\frac{dy}{dt}=2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.1절 · 8번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 2권 · 4.1절 · 48번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 바뀌기 시작하는 임계점이 있습니까?

[계산기 사용] ${y}^{'}=y(x)$

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

[T] ${y}^{'}=y(x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 39번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 2권 · 4.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 바뀌기 시작하는 임계점이 있습니까?

[계산기 사용] $x{y}^{'}=y$

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

[T] $x{y}^{'}=y$

정답·풀이 보기

해는 $y(0)=0$ 에서 증가에서 감소로 바뀐다

원본 교재 풀이(영어)

Solution changes from increasing to decreasing at $y(0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 31번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 2권 · 4.1절 · 50번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 바뀌기 시작하는 임계점이 있습니까?

[계산기 사용] ${y}^{'}={t}^{3}$

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

[T] ${y}^{'}={t}^{3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 25번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 2권 · 4.1절 · 51번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 서로 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함한다는 것을 기억하세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

[계산기 사용] ${y}^{'}=x+y$ (힌트: $y=C{e}^{x}-x-1$ 이 일반해이다)

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

[T] ${y}^{'}=x+y$ (Hint: $y=C{e}^{x}-x-1$ is the general solution)

정답·풀이 보기

해는 $y(0)=0$ 에서 증가에서 감소로 바뀐다

원본 교재 풀이(영어)

Solution changes from increasing to decreasing at $y(0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.1절 · 7번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 2권 · 4.1절 · 52번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 서로 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함한다는 것을 기억하세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

[계산기 사용] ${y}^{'}=x\ln x+\sin x$

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

[T] ${y}^{'}=x\ln x+\sin x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 47번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 2권 · 4.1절 · 61번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

$y=B{e}^{3t}$ 을 ${y}^{'}-y=8{e}^{3t}$ 에 대입하여 특수해를 구하세요.

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

Substitute $y=B{e}^{3t}$ into ${y}^{'}-y=8{e}^{3t}$ to find a particular solution.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=4{e}^{3t}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=4{e}^{3t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 65번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 2권 · 4.1절 · 62번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

$y=a\cos (2t)+b\sin (2t)$ 를 ${y}^{'}+y=4\sin (2t)$ 에 대입하여 특수해를 구하세요.

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

Substitute $y=a\cos (2t)+b\sin (2t)$ into ${y}^{'}+y=4\sin (2t)$ to find a particular solution.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 23번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 2권 · 4.1절 · 63번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

$y=a+bt+c{t}^{2}$ 을 ${y}^{'}+y=1+{t}^{2}$ 에 대입하여 특수해를 구하세요.

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

Substitute $y=a+bt+c{t}^{2}$ into ${y}^{'}+y=1+{t}^{2}$ to find a particular solution.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=3-2t+{t}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=3-2t+{t}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 61번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 2권 · 4.1절 · 64번대학 수준우리말 번역

해의 족은 상수만큼 차이가 나는 미분방정식의 해들을 포함함을 떠올리세요. 다음 문제에서는 계산기를 사용하여 주어진 미분방정식의 해의 족의 그래프를 그리세요. 초기 조건은 $y(t=0)=-10$ 부터 $y(t=0)=10$ 까지 $2$ 씩 증가시키며 사용하세요. 해의 거동이 변하기 시작하는 임계점이 있나요?

$y=a{e}^{t}\cos t+b{e}^{t}\sin t$ 를 ${y}^{'}=2{e}^{t}\cos t$ 에 대입하여 특수해를 구하세요.

영어 원문 보기

Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from $y(t=0)=-10$ to $y(t=0)=10$ increasing by $2.$ Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?

Substitute $y=a{e}^{t}\cos t+b{e}^{t}\sin t$ into ${y}^{'}=2{e}^{t}\cos t$ to find a particular solution.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.1절 · 7번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류

15.Active Calculus · 7.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

어떤 생물 종의 개체 수가 함수 $P(t)$ 로 나타내어진다고 하자. 여기서 $P$ 는 백만 단위로 나타낸 값이다. 또한 개체 수의 변화율이 다음 미분방정식으로 주어진다고 하자.

$\frac{dP}{dt} = f(P)$

여기서 $f(P)$ 는 아래 그래프로 나타낸 함수이다.

$P 의 함수로서 frac dP dt = f(P) 의 그래프이다. frac dP dt 에 대한 세로 눈금은 주어져 있지 않으며, P 는 가로 방향으로 P=0 에서 P=4 까지이다. f(P) 의 그래프는 다음을 영점으로 갖는 삼차 다항식처럼 보인다.$

(a) 개체 수 $P$ 가 어떤 값일 때 개체 수가 증가하나요? (b) 개체 수 $P$ 가 어떤 값일 때 개체 수가 감소하나요? (c) $P(0) = 3$ 이면 개체 수는 시간에 따라 어떻게 변하나요? (d) 처음 개체 수가 $0< P(0)< 1$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (e) 처음 개체 수가 $1< P(0)< 3$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (f) 처음 개체 수가 $3< P(0)$ 을 만족하면, 아주 오랜 시간이 지난 후 개체 수는 어떻게 되나요? (g) 개체 수 증가에 대한 이 모델을 흔히 “문턱이 있는 증가”라고 부른다. 이 이름이 적절한 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the population of a particular species is described by the function $P(t)$ , where $P$ is expressed in millions. Suppose further that the population's rate of change is governed by the differential equation

$\frac{dP}{dt} = f(P)$

where $f(P)$ is the function graphed below.

$A plot of frac dP dt = f(P) as a function of P. There is no vertical scale specified for frac dP dt ; P ranges horizontally from P=0 to P=4. The graph of f(P) looks like a cubic polynomial with zeros$

(a) For which values of the population $P$ does the population increase? (b) For which values of the population $P$ does the population decrease? (c) If $P(0) = 3$ , how will the population change in time? (d) If the initial population satisfies $0< P(0)< 1$ , what will happen to the population after a very long time? (e) If the initial population satisfies $1< P(0)< 3$ , what will happen to the population after a very long time? (f) If the initial population satisfies $3< P(0)$ , what will happen to the population after a very long time? (g) This model for a population's growth is sometimes called “growth with a threshold.” Explain why this is an appropriate name.

정답·풀이 보기

(a) 이 $P$ 의 값들에서 $\frac{dP}{dt} > 0$ 이므로 $1 < P < 3$ 에서 $P$ 는 증가한다. (b) 이 $P$ 의 값들에서 $\frac{dP}{dt} < 0$ 이므로 $P < 1$ 과 $3 < P < 4$ 에서 $P$ 는 감소한다. (c) $P(0) = 3$ 이면 $\frac{dP}{dt}\vert_{P=3} = 0$ 이고, 도함수가 $0$ 이므로 $P$ 는 시간이 지나도 전혀 변하지 않는다. (d) 처음 개체 수가 $0< P(0)< 1$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 양수인 채로 $P = 0$ 을 향해 감소할 것으로 예상된다. $0< P < 1$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 음수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 감소한다. $P$ 가 $0$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 0$ 아래로 내려갈 수 없다. (e) 처음 개체 수가 $1< P(0)< 3$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 $1$ 과 $3$ 사이에 있는 채로 $P = 3$ 을 향해 증가할 것으로 예상된다. $1 < P < 3$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 양수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 증가한다. $P$ 가 $3$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 3$ 위로 증가할 수 없다. (f) 처음 개체 수가 $3< P(0)$ 을 만족하면, 개체 수는 $P$ 가 항상 $3$ 보다 큰 채로 $P = 3$ 을 향해 감소할 것으로 예상된다. $P > 3$ 에서 $\frac{dP}{dt}$ 는 항상 음수이므로 이 구간에서 $P$ 는 항상 감소한다. $P$ 가 $3$ 인 값에서는 $\frac{dP}{dt} = 0$ 이어서 개체 수가 변하지 않으므로, 개체 수는 $P = 3$ 아래로 내려갈 수 없다. (g) 개체 수에는 두 개의 문턱이 있는 것으로 보인다. 하나는 최소 문턱 $P = 1$ 로, 이보다 개체 수가 적으면 개체 수가 $0$ 으로 감소한다. 다른 하나는 최대 문턱 $P = 3$ 으로, 개체 수가 최소 문턱보다 크고 최대 문턱보다 작으면 최대 문턱을 향해 증가하고, 개체 수가 최대 문턱보다 크면 그 값이 다시 최대 문턱을 향해 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $P$ increases for $1 < P < 3$ since $\frac{dP}{dt} > 0$ for these $P$ -values. (b) $P$ decreases for $P < 1$ and $3 < P < 4$ since $\frac{dP}{dt} < 0$ for these $P$ -values. (c) If $P(0) = 3$ , $\frac{dP}{dt}\vert_{P=3} = 0$ , so $P$ will not change at all with time since its derivative is $0$ . (d) If the initial population satisfies $0< P(0)< 1$ , we expect that the population will decrease toward $P = 0$ with $P$ always being positive. Since $\frac{dP}{dt}$ is always negative for $0< P < 1$ , $P$ is always decreasing on this interval. The population can't drop below $P = 0$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (e) If the initial population satisfies $1< P(0)< 3$ , we expect that the population will increase toward $P = 3$ with $P$ always being between $1$ and $3$ . Since $\frac{dP}{dt}$ is always positive for $1 < P < 3$ , $P$ is always increasing on this interval. The population can't increase above $P = 3$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (f) If the initial population satisfies $3< P(0)$ , we expect that the population will decrease toward $P = 3$ with $P$ always being above $3$ . Since $\frac{dP}{dt}$ is always negative for $P > 3$ , $P$ is always decreasing on this interval. The population can't drop below $P = 3$ because at that value of $P$ , $\frac{dP}{dt} = 0$ and at that value the population wouldn't change. (g) It looks like there are two thresholds for the population: there's a minimum threshold of $P = 1$ , since below that population, the population decreases to $0$ , and there's a maximum threshold of $P = 3$ , where if we are above the minimum but below the maximum, the population works to increase toward the maximum threshold, while if the population is above the maximum, its value will fall back toward it.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.1절 · 8번

# 미분방정식의 기초그래프·표 해석자동 분류