빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

로지스틱 방정식

환경 수용력이 있는 개체 수 증가 모델을 풀고 해석한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

19문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 4.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

공원 안 사슴 개체군의 환경 수용력은 $200$ 이고 성장률은 $2\%$ 입니다. 처음 개체 수가 사슴 $50$ 마리일 때, 임의의 시각에서 사슴의 개체 수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A population of deer inside a park has a carrying capacity of $200$ and a growth rate of $2\%.$ If the initial population is $50$ deer, what is the population of deer at any given time?

정답·풀이 보기

$P(t)=\frac{10000{e}^{0.02t}}{150+50{e}^{0.02t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$P(t)=\frac{10000{e}^{0.02t}}{150+50{e}^{0.02t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 12번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

2.OpenStax 2권 · 4.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연못 안 개구리 개체군의 성장률은 $5\%$ 입니다. 처음 개체 수가 개구리 $1000$ 마리이고 환경 수용력이 $6000$ 일 때, 임의의 시각에서 개구리의 개체 수는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A population of frogs in a pond has a growth rate of $5\%.$ If the initial population is $1000$ frogs and the carrying capacity is $6000,$ what is the population of frogs at any given time?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 7번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

3.OpenStax 2권 · 4.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 배양 접시에서 세균이 시간당 $20\%$ 의 비율로 성장합니다. 처음에 세균이 1개 있고 환경 수용력이 100만 개일 때, 세포 수가 $500,000$ 개에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Bacteria grow at a rate of $20\%$ per hour in a petri dish. If there is initially one bacterium and a carrying capacity of $1$ million cells, how long does it take to reach $500,000$ cells?

정답·풀이 보기

$69$ 시간 $5$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$69$ hours $5$ minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 10번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

4.OpenStax 2권 · 4.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 공원에 있는 토끼의 처음 개체 수는 $10$ 이고 매년 $4\%$ 의 비율로 성장합니다. 환경 수용력이 $500$ 일 때, 개체 수가 토끼 $100$ 마리에 도달하는 시각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Rabbits in a park have an initial population of $10$ and grow at a rate of $4\%$ per year. If the carrying capacity is $500,$ at what time does the population reach $100$ rabbits?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 34번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

5.OpenStax 2권 · 4.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 섬에 원숭이 두 마리를 놓아둔다. 5년 후 원숭이는 $8$ 마리가 되고, 추정되는 환경 수용력은 $25$ 마리이다. 원숭이의 개체 수가 $16$ 마리에 도달하는 것은 언제인가요?

영어 원문 보기

[T] Two monkeys are placed on an island. After $5$ years, there are $8$ monkeys, and the estimated carrying capacity is $25$ monkeys. When does the population of monkeys reach $16$ monkeys?

정답·풀이 보기

$8$ 년 $11$ 개월

원본 교재 풀이(영어)

$8$ years $11$ months

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 6번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

6.OpenStax 2권 · 4.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 나비 $2000$ 마리를 수용할 수 있는 나비 보호구역을 지었고, 처음에 나비 $400$ 마리를 옮겨 놓았다. $2$ 개월 후 나비가 $800$ 마리가 되었다면, 개체 수가 $1500$ 마리에 도달하는 것은 언제인가요?

영어 원문 보기

[T] A butterfly sanctuary is built that can hold $2000$ butterflies, and $400$ butterflies are initially moved in. If after $2$ months there are now $800$ butterflies, when does the population get to $1500$ butterflies?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 24번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

7.OpenStax 2권 · 4.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 연못에 사는 송어의 개체 수가 $P'=0.4P\left(1-\frac{P}{10000}\right)-400$ 으로 주어진다. 여기서 해마다 송어 $400$ 마리를 잡는다. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 방향장을 그리고, 몇 가지 예시 해를 그리세요. 개체 수의 변화 양상이 어떠할 것으로 예상하나요?

영어 원문 보기

[T] The population of trout in a pond is given by $P'=0.4P\left(1-\frac{P}{10000}\right)-400,$ where $400$ trout are caught per year. Use your calculator or computer software to draw a directional field and draw a few sample solutions. What do you expect for the behavior?

정답·풀이 보기

P < 1,000 에서는 화살표가 아래를 향하고, 1,000 < P < 8,500 에서는 위를 향하며, P > 8,500 에서는 아래를 향하는 방향장이다. P = 8,500 바로 위에서는 화살표가 오른쪽 아래를 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows down for P < 1,000, pointing up for 1,000 < P < 8,500, and pointing down for P > 8,500. Right above P = 8,500, the arrows point down and to the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 4번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

8.OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

$K=10,r=0.1,T=2$ 라고 가정하고, 문턱 로지스틱 방정식의 방향장을 그리세요. 개체수는 언제 살아남나요? 언제 멸종하나요?

영어 원문 보기

Draw the directional field of the threshold logistic equation, assuming $K=10,r=0.1,T=2.$ When does the population survive? When does it go extinct?

정답·풀이 보기

y = 2 와 y = 10 을 따라 화살표가 수평으로 오른쪽을 향하는 방향장이다. P < 2 일 때 화살표는 오른쪽 아래를 향한다. 2 < P < 10 일 때 화살표는 오른쪽 위를 향한다. P > 10 일 때 화살표는 오른쪽 아래를 향한다. 화살표가 2 와 10 에서 멀수록 더 가파르고, 2 와 10 에 가까울수록 더 수평에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing horizontally to the right along y = 2 and y = 10. For P < 2, the arrows point down and to the right. For 2 < P < 10, the arrows point up and to the right. For P > 10, the arrows point down and to the right. The further the arrows are from 2 and 10, the steeper they become, and the closer they are from 2 and 10, the more horizontal the arrows become.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 28번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

9.OpenStax 2권 · 4.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

보호 공원에 있는 벵골호랑이의 환경 수용력은 $100$ 마리이고, 살아남으려면 최소 $10$ 마리가 필요하다. 개체수가 해마다 $1\%$ 의 비율로 증가하고 처음 개체수가 $15$ 마리일 때, 존재하는 호랑이의 수를 구하세요.

영어 원문 보기

Bengal tigers in a conservation park have a carrying capacity of $100$ and need a minimum of $10$ to survive. If they grow in population at a rate of $1\%$ per year, with an initial population of $15$ tigers, solve for the number of tigers present.

정답·풀이 보기

$P(t)=\frac{850+500{e}^{0.009t}}{85+5{e}^{0.009t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$P(t)=\frac{850+500{e}^{0.009t}}{85+5{e}^{0.009t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 26번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

10.OpenStax 2권 · 4.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

마다가스카르의 알락꼬리여우원숭이가 사는 숲은 개체 $5000$ 마리를 부양할 수 있고, 여우원숭이 개체수는 해마다 $5\%$ 의 비율로 증가한다. 여우원숭이가 생존하려면 최소 $500$ 마리가 필요하다. 처음 개체수가 $600$ 마리일 때, 여우원숭이의 개체수를 구하세요.

영어 원문 보기

A forest containing ring-tailed lemurs in Madagascar has the potential to support $5000$ individuals, and the lemur population grows at a rate of $5\%$ per year. A minimum of $500$ individuals is needed for the lemurs to survive. Given an initial population of $600$ lemurs, solve for the population of lemurs.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

11.OpenStax 2권 · 4.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

플로리다 남서쪽 끝에 사는 플로리다 퓨마 개체군은 추정 환경 수용력이 $250$ 이고 매년 $0.25\%$ 의 비율로 증가하며, 개체군이 생존하려면 $25$ 마리가 있어야 한다. 처음 플로리다 퓨마가 $30$ 마리일 때, 플로리다 퓨마를 멸종 위기종 목록에서 제외하려면 몇 년이 걸릴까요 (최소 $100)?$

영어 원문 보기

The population of Florida panthers in the southwestern tip of Florida has an estimated carrying capacity of $250$ and grows at a rate of $0.25\%$ per year and there must be $25$ for the population to survive. With an initial population of $30$ Florida panthers, how many years will it take to get the Florida panthers off the endangered species list (at least $100)?$

정답·풀이 보기

$13$ 년 개월

원본 교재 풀이(영어)

$13$ years months

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 20번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

12.OpenStax 2권 · 4.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

어떤 개체군에서 $K=1000$ 이고 $\alpha =0.05$ 라 하자. 이 미분방정식에 대응하는 방향장을 그리고 해 몇 개를 그리세요. 개체군의 행동은 어떠한가요?

영어 원문 보기

Assume that for a population, $K=1000$ and $\alpha =0.05.$ Draw the directional field associated with this differential equation and draw a few solutions. What is the behavior of the population?

정답·풀이 보기

P < 0일 때는 화살표가 오른쪽 아래를 향하고, 0 < P < 1,000일 때는 위를 향하며, P > 1,000일 때는 아래를 향하는 방향장이다. 화살표가 P = 0과 P = 1,000에서 멀어질수록 더 수직에 가까워지고, 가까울수록 더 수평에 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing down and to the right for P < 0, up for 0 < P < 1,000, and down for P > 1,000. The further the arrows are from P = 0 and P = 1,000, the more vertical they become, and the closer they are, the more horizontal they are.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 5번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

13.OpenStax 2권 · 4.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 전 세계 인구가 1959년에 $3$ 십억 명, 1999년에 $6$ 십억 명에 이른 것으로 추정된다. 수용 능력이 $16$ 십억 명이라고 가정하고, 로지스틱 성장에 대한 미분방정식을 세워 풀고, 인구가 언제 $7$ 십억 명에 이르렀는지 연도를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] It is estimated that the world human population reached $3$ billion people in $1959$ and $6$ billion in $1999.$ Assuming a carrying capacity of $16$ billion humans, write and solve the differential equation for logistic growth, and determine what year the population reached $7$ billion.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 20번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

14.OpenStax 2권 · 4.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 세계 인구는 $1959$ 년에 $3$ 십억 명, $1999$ 년에 $6$ 십억 명에 도달한 것으로 추정됩니다. 환경수용력이 $16$ 십억 명이라고 가정하고, 곰페르츠 성장에 대한 미분방정식을 세워 풀고, 인구가 $7$ 십억 명에 도달한 해를 구하세요. 세계 인구가 10월 $31,2011$ 에 $7$ 십억 명에 도달했음을 고려할 때, 로지스틱 성장과 곰페르츠 성장 중 어느 쪽이 더 정확했는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] It is estimated that the world human population reached $3$ billion people in $1959$ and $6$ billion in $1999.$ Assuming a carrying capacity of $16$ billion humans, write and solve the differential equation for Gompertz growth, and determine what year the population reached $7$ billion. Was logistic growth or Gompertz growth more accurate, considering world population reached $7$ billion on October $31,2011?$

정답·풀이 보기

$2008$ 년 9월

원본 교재 풀이(영어)

September $2008$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 30번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

15.OpenStax 2권 · 4.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

문턱 로지스틱 방정식 $P'(t)=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)\left(1-\frac{T}{P}\right)$ 에서 인구는 언제 가장 빠르게 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

When does population increase the fastest in the threshold logistic equation $P'(t)=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)\left(1-\frac{T}{P}\right)?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{K+T}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{K+T}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 32번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

16.OpenStax 2권 · 4.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

곰페르츠 방정식 $P(t)'=\alpha \ln \left(\frac{K}{P(t)}\right)P(t)$ 에서 개체수는 언제 가장 빠르게 증가하나요?

영어 원문 보기

When does population increase the fastest for the Gompertz equation $P(t)'=\alpha \ln \left(\frac{K}{P(t)}\right)P(t)?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 6번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

17.OpenStax 2권 · 4.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

이전 문제들에서 구한 세 방정식을 사용하여 2010년(보전 후 $70$ 년째)의 개체 수를 어림하세요. …개체 수는 $437$ 이었습니다. 어느 모형이 가장 정확한가요?

영어 원문 보기

Using the three equations found in the previous problems, estimate the population in $2010$ (year $70$ after conservation). The real population measured at that time was $437.$ Which model is most accurate?

정답·풀이 보기

로지스틱: $361$ , 임계 모형: $436$ , 곰페르츠: $309.$

원본 교재 풀이(영어)

Logistic: $361,$ Threshold: $436,$ Gompertz: $309.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 32번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

18.Active Calculus · 7.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

$b(t)$ 는 페트리 접시 안의 군집에 사는 박테리아의 수를 나타낸다고 하자. 여기서 $b$ 의 단위는 천 마리이고 $t$ 의 단위는 일이다. 어느 날 측정했더니 박테리아가 6,000마리였고 개체당 증가율은 3이었다. 며칠 뒤에 측정했더니 박테리아가 9,000마리였고 개체당 증가율은 2였다.

(a) 개체당 증가율 $\frac{db/dt}{b}$ 가 $b$ 의 일차함수라고 가정하세요. 측정값을 이용하여 이 함수를 구하고, $\frac{db}{dt}$ 를 나타내는 로지스틱 방정식을 쓰세요. (b) 이 박테리아의 환경수용력은 얼마인지 구하세요. (c) 박테리아의 수가 가장 빠르게 증가하는 때의 개체 수는 얼마인지 구하세요. (d) 처음에 박테리아가 1,000마리였다면, 환경수용력의 80%에 이르는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $b(t)$ measures the number of bacteria living in a colony in a Petri dish, where $b$ is measured in thousands and $t$ is measured in days. One day, you measure that there are 6,000 bacteria and the per capita growth rate is 3. A few days later, you measure that there are 9,000 bacteria and the per capita growth rate is 2.

(a) Assume that the per capita growth rate $\frac{db/dt}{b}$ is a linear function of $b$ . Use the measurements to find this function and write a logistic equation to describe $\frac{db}{dt}$ . (b) What is the carrying capacity for the bacteria? (c) At what population is the number of bacteria increasing most rapidly? (d) If there are initially 1,000 bacteria, how long will it take to reach 80% of the carrying capacity?

정답·풀이 보기

(a) $y$ 를 $b$ 에 대한 함수로 나타낸 개체당 증가율이라 하자. 문제에 주어진 자료에 의해 이 일차함수의 그래프는 두 점 $(6000,3)$ 과 $(9000,2)$ 를 지난다. 따라서 이 직선의 방정식은 $y - 3 = -\frac{1}{3000}(b - 6000)$ 이므로 $y = (3 + 2) - \frac{1}{3000}b = 5 - \frac{1}{3000}b$ 이다. 로지스틱 방정식은 시각 $t$ 의 개체 수와 그 시각의 개체당 증가율을 곱하여 얻으므로 $\frac{db}{dt} = b \left( 5 - \frac{1}{3000}b \right) = \frac{1}{3000} b(15000 - b)$ 를 얻는다. (b) 로지스틱 방정식의 꼴에서 이 박테리아의 환경수용력은 $b = 15000$ 이며, 이는 개체 수의 안정 평형점이다. (c) 박테리아는 $\frac{db}{dt}$ 가 최대일 때 가장 빠르게 증가한다. $\frac{db}{dt} = \frac{1}{3000} b(15000 - b)$ 은 $b$ 의 이차함수이므로, $\frac{db}{dt}$ 는 위로 볼록한 이 포물선의 꼭짓점에서 최대가 된다. 꼭짓점은 두 영점 $b = 0$ 과 $b = 15000$ 의 한가운데에 있다. 따라서 $b = 7500$ 일 때 개체 수가 가장 빠르게 증가한다. 이때의 정확한 $t$ 의 값을 구하려면 이 문제의 다음 부분과 같은 초기 조건을 알아야 한다. (d) $b(0) = 1000$ 을 이용하여 로지스틱 방정식의 초깃값 문제 $\frac{db}{dt} = \frac{1}{3000} b(15000 - b)\,$ 를 푼다. $N = 15000$ , $k = \frac{1}{3000}$ , $b_0 = 1000$ 이므로 로지스틱 방정식의 해의 표준형에서 $b(t) = \frac{15000}{\left(\frac{15000-1000}{1000}\right) e^{-5t} + 1} = \frac{15000}{14e^{-5t} + 1}\,$ 이다. 박테리아가 환경수용력의 80%에 이르는 데 걸리는 시간을 구하기 위해 방정식 $0.8 \cdot 15 = \frac{15000}{14e^{-5t} + 1}\,$ 을 푼다. 이 방정식에서 $0.8 = \frac{1}{14e^{-5t} + 1}\,$ 이므로 $14e^{-5t} + 1 = 1.2$ 이고, 따라서 $e^{-5t} = 0.2/14 = 1/70$ 이다. 그러므로 $t = -\frac{1}{5} \ln(1/70) \approx 0.8497$ 일이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $y$ be the per capita growth rate as a function of $b$ . Using the given data in the problem statement, we know that this linear function passes through the points $(6000,3)$ and $(9000,2)$ . The equation of this line is thus $y - 3 = -\frac{1}{3000}(b - 6000)$ so $y = (3 + 2) - \frac{1}{3000}b = 5 - \frac{1}{3000}b$ . Since the logistic equation comes from taking the product of the population at time $t$ with its per capita growth rate at that time, we find that $\frac{db}{dt} = b \left( 5 - \frac{1}{3000}b \right) = \frac{1}{3000} b(15000 - b)$ (b) From the form of the logistic equation, we see that the carrying capacity for the bacteria is $b = 15000$ , which is a stable equilibrium for the population. (c) The bacteria is increasing most rapidly when $\frac{db}{dt}$ is greatest. Since $\frac{db}{dt} = \frac{1}{3000} b(15000 - b)$ is a quadratic function of $b$ , $\frac{db}{dt}$ is maximized at the vertex of this concave down parabola, which occurs halfway between its zeros: $b = 0$ and $b = 15000$ . Thus, when $b = 7500$ , the population is growing fastest. To find the exact $t$ -value when this occurs, we'd need to know an initial condition like in the next part of the problem. (d) Using $b(0) = 1000$ , we solve the logistic equation IVP with $\frac{db}{dt} = \frac{1}{3000} b(15000 - b)\,.$ Using $N = 15000$ , $k = \frac{1}{3000}$ , and $b_0 = 1000$ , we know from the standard form of the solution to the logistic equation that $b(t) = \frac{15000}{\left(\frac{15000-1000}{1000}\right) e^{-5t} + 1} = \frac{15000}{14e^{-5t} + 1}\,.$ To find how long it takes the bacteria to reach 80% of the carrying capacity, we solve the equation $0.8 \cdot 15 = \frac{15000}{14e^{-5t} + 1}\,.$ That equation implies that $0.8 = \frac{1}{14e^{-5t} + 1}\,,$ so $14e^{-5t} + 1 = 1.2$ and thus $e^{-5t} = 0.2/14 = 1/70$ . It follows that $t = -\frac{1}{5} \ln(1/70) \approx 0.8497$ days.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 7번

# 로지스틱 방정식활용자동 분류

19.Active Calculus · 7.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 어종의 개체수가 다음 로지스틱 방정식으로 조절된다고 하자.

$\frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P)\,,$ 여기서 $P$ 는 물고기 수를 천 마리 단위로, $t$ 는 시간을 연 단위로 나타낸 것이다.

(a) 이 개체군의 환경수용력은 얼마입니까? (b) 오랜 시간이 지나 물고기 개체수가 환경수용력에서 안정되어 있다고 하자. 이때 사람들이 매년 물고기의 20%를 잡기 시작한다. 물고기 포획을 반영하는 항을 더하여 미분방정식을 수정하세요. (c) 새로운 환경수용력은 얼마입니까? (d) 포획을 시작하고 1년 후 물고기 개체수는 얼마가 됩니까? (e) 개체수가 환경수용력의 10% 이내가 되기까지 얼마나 걸립니까?

영어 원문 보기

Suppose that the population of a species of fish is controlled by the logistic equation

$\frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P)\,,$ where $P$ is measured in thousands of fish and $t$ is measured in years.

(a) What is the carrying capacity of this population? (b) Suppose that a long time has passed and that the fish population is stable at the carrying capacity. At this time, humans begin harvesting 20% of the fish every year. Modify the differential equation by adding a term to incorporate the harvesting of fish. (c) What is the new carrying capacity? (d) What will the fish population be one year after the harvesting begins? (e) How long will it take for the population to be within 10% of the carrying capacity?

정답·풀이 보기

(a) 주어진 로지스틱 방정식의 꼴에서 환경수용력이 10000마리임을 알 수 있다. (b) 이 상황에서 초기 조건은 $P(0) = 10$ 이고, 매년 개체수의 $20$ %를 제거하므로 미분방정식을 정의하는 변화율에서 $0.2P$ 를 빼면 다음을 얻는다. $\frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P) - 0.2P\,.$ (c) (b)의 미분방정식을 전개하여 다시 쓰면 다음과 같다. $\frac{dP}{dt} = P - 0.1P^2 - 0.2P = 0.8P - 0.1P^2 = 0.1P(8 - P)\,.$ 이것 역시 로지스틱 방정식이며, 환경수용력은 $8000$ 마리이다. (d) 이 로지스틱 방정식을 일반적인 방법으로 풀 수 있다(초기 조건 $P(0) = 10$ 에 유의하고, 환경수용력이 $8$ 임을 이용한다). $P(t) = \frac{8}{\frac{8-10}{10}e^{-0.1 \cdot 8 t}+1} = \frac{8}{-0.2e^{-0.8t}+1}$ 따라서 1년 후 물고기 개체수는 다음과 같다. $P(1) \approx 8.7899$ 천 마리이다. (e) 환경수용력의 10% 이내가 되려면 $0.9(8) \le P(t) \le 1.1(8)$ 이어야 한다. 초기 조건이 환경수용력보다 크므로 $P(t) = 1.1(8) = 8.8$ 이 되는 때를 구하면 된다. 따라서 다음 방정식을 푼다. $8.8 = \frac{8}{-0.2e^{-0.8t}+1}\,,$ 이로부터 $-0.2e^{-0.8t}+1 = 8/8.8 = 10/11$ 이다. 따라서 $e^{-0.8t} = 5/11$ 이므로 $t = -1.25 \ln(5/11) \approx 0.986$ 년이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) From the form of the given logistic equation, we can see the carrying capacity is 10000 fish. (b) In this situation, the initial condition is $P(0) = 10$ , and by removing $20$ % of the population per year, we subtract $0.2P$ from the rate that defines the differential equation, thus finding $\frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P) - 0.2P\,.$ (c) Expanding and rewriting the differential equation in (b), we see that $\frac{dP}{dt} = P - 0.1P^2 - 0.2P = 0.8P - 0.1P^2 = 0.1P(8 - P)\,.$ This, too, is a logistic equation, with carrying capacity $8000$ fish. (d) We can solve this logistic equation in the usual way (keeping in mind the initial condition $P(0) = 10$ , and noting that the carrying capacity is $8$ ): $P(t) = \frac{8}{\frac{8-10}{10}e^{-0.1 \cdot 8 t}+1} = \frac{8}{-0.2e^{-0.8t}+1}$ After one year, the population of fish will thus be $P(1) \approx 8.7899$ thousand fish. (e) To be within 10% of the carrying capacity, we need $0.9(8) \le P(t) \le 1.1(8)$ . Since the initial condition is larger than the carrying capacity, we want to know when $P(t) = 1.1(8) = 8.8$ . Thus we solve the equation $8.8 = \frac{8}{-0.2e^{-0.8t}+1}\,,$ which implies $-0.2e^{-0.8t}+1 = 8/8.8 = 10/11$ . Thus, $e^{-0.8t} = 5/11$ , so $t = -1.25 \ln(5/11) \approx 0.986$ years.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 36번

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